Stetigkeit zweier Funktionen

16.01.2005, 02:51	Heffernan	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zweier Funktionen Hallo, dieses mal habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich daran gehen soll Gegeben: $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ Teilemenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f : D -> \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g : E -> \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} W_f \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ Zu zeigen: Die Komposition $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} f : D -> \mathbb R \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Weiß jemand Rat? Ich habe da schon eine Idee Mit $\begin{eqnarray} f : D ->\mathbb R \end{eqnarray}$ in x_0 folgt: Für alle Epsilon > 0 existiert ein Omega > 0, so dass für alle x mit \|x - x_0\| < Omega gilt, dass \|f(x) - f(x_0)\| < Epsilon. Jetzt muss ich nur noch überlegen wie ich g da noch in Beziehung setze edit: Doppelpost zusammengefügt (MSS)
16.01.2005, 16:39	Heffernan	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, vielleichts geht's so ... Mit $\begin{eqnarray} f : D ->\mathbb R \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ folgt: Für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} \omega > 0 \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x - x_0\| < \omega \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(x_0)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Wie sieht das mit $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ aus? So in Bezug auf das $\begin{eqnarray} W_f \end{eqnarray}$ ... Die weitere Verfahrenswiese wäre dann doch anschließend, dass ich irgendwie auf das folgende kommen muss: $\begin{eqnarray} \|g(f(x_1)) - g(f(x_2))\| < \end{eqnarray}$ "irgendwas", wenn $\begin{eqnarray} \| x_1 - x_2\| < \end{eqnarray}$ "irgendwas anderes" gilt. Seh' ich das richtig? Mfg
16.01.2005, 22:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal müsste noch vorausgesetzt werden, dass $\begin{eqnarray} f(D)\subset E \end{eqnarray}$ gilt. Machs so: Für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ existiert ja ein $\begin{eqnarray} \eta>0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y_1,y_2\in E \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|y_1-y_2\|<\eta \end{eqnarray}$ . Jetzt verwende die gleichmäßige Stetigkeit von f und fange so an: Zu diesem $\begin{eqnarray} \eta>0 \end{eqnarray}$ gibt es auch ein ... PS: Bitte benutze doch die edit-Funktion.
17.01.2005, 16:12	Heffernan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke !!!

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