Reihen

16.01.2005, 11:18

KatMat

Reihen

Hallo,
benötige bei folgender Aufgabe Eure Hilfe:

Untersuchen Sie die Reihen
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz und absolute Konvergenz!

a) $\begin{eqnarray*} a_n = n!/(-n)^n \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} a_n = 1/n*\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n/\sqrt[3]{n(n+3)} \end{eqnarray*}$

also bei der b) habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} a_n = 1/n*\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ ( die Wurzel geht gegen 1)

$\begin{eqnarray*} a_n = 1/n \end{eqnarray*}$ --> ist divergent!!!

Ist das richtig? Könnte mir bitte bei den anderen noch jemand helfen?

Danke.
Gruß katmat.

16.01.2005, 14:09

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RE: Reihen
b) ist richtig.

a) solltest du mit dem Quotientenkriterium angehen, und bei c) an das Leibniz-Kriterium (alternierende Reihen) denken.

16.01.2005, 15:08

KatMat

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Hallo,

danke für die Tips, probiere mal die c)

wegen dem alternierenden Element (-1)^n muss es konvergent sein!!

setze ein:

für n=1:
=-1/\sqrt[3]{4}=-1/1,587=-0,63 < 1

für n=2:
=1/sqrt[3](10)=1/2,15=0,465 < 1

--> absolut konvergent!

Sorry, aber der Formeleditor spinnt grad! böse

16.01.2005, 15:24

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Auf c) bezogen ist

Zitat:

Original von KatMat
--> absolut konvergent!

falsch - deine Schlussweise kann ich auch nicht recht nachvollziehen. verwirrt

16.01.2005, 15:26

KatMat

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hm...schde eigentlich.
Könntest Du mir bitte sagen was falsch ist, bzw. helfen? Hilfe

16.01.2005, 15:38

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Du hast die ersten beiden Glieder der Reihe angegeben - was soll das über die Konvergenz bzw. absolute Konvergenz der Reihe denn schon aussagen. geschockt

Als Hinweis in Bezug auf c) will ich dich auf das Konvergenzverhalten der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$

hinweisen: Sie ist für s>1 konvergent und für s<=1 divergent.

16.01.2005, 15:43

KatMat

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ja, habe erst für n=1 dann n=2 eingesetzt...aber wie geht es sonst, außer für n etwas einsetzen?
Verstehe nicht wie ich es sonst zeigen soll! Habe bisher aber auch nur einmal gesehen wie das mit dem Leibniz-Kriterium funktionieren soll.

unglücklich

16.01.2005, 21:54

Mathespezialschüler

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Bei a) hilft auch das Leibniz-Kriterium.
Das ist doch ganz einfach: Wenn $\begin{eqnarray*} \sum~a_n=\sum~(-1)^n\cdot \alpha_n\ \ \mbox{mit}\ \ \alpha_n\geq 0\ \forall\ n\in \mathbb N,\ \lim \alpha_n= 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sum~a_n \end{eqnarray*}$ konvergent. Es muss also einfach nur bei jedem Summanden das Vorzeichen wechseln und die a_n müssen gegen 0 gehen, dann konvergiert die Reihe!

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