Matrix*vector

01.06.2007, 09:40

charpius1999

Matrix*vector

Moin moin,
Ich hab die folgende Aufgabe, die relativ einfach sein soll, aber ich nicht weiß wie ich überhaupt anfangen soll:

Sei S eine beliebige (komplexe) 3x3 Matrix:
Man zeige dass es immer eine Matrix S^+ mit der Eigenschaft gibt:

$\begin{eqnarray*} \langle S \vec{r} , S \vec{r}^, \rangle=\langle \vec r , S^+S\vec r^, \rangle \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \langle , \rangle \end{eqnarray*}$ skalarprodukt in C Raum ist.
wie soll ich überhaupt daran gehen, unter welchm thema sollte man nachlese?
Tipps, Ansätze etc.

thx im voraus

01.06.2007, 09:59

WebFritzi

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Was ist das für ein Skalarprodukt? Irgendeines? Was ist dein Raum? Der C^3? Sag klar, was Sache ist. Dann kann man dir auch helfen.

Sagen wir mal, es sei das Standard-Skalarprodukt im C^3. Was für eine Matrix ist dann wohl S^+ ?

P.S.: Ich fände es besser zu zeigen, dass es ein S^+ gibt mit $\begin{eqnarray*} \langle Sx,y\rangle = \langle x,S^+y\rangle. \end{eqnarray*}$

EDIT: Deine Überschrift passt kein Stück!

01.06.2007, 11:20

charpius1999

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Es ist ein Skalarprodukt im komplexen Raum!

Es ist nicht:
$\begin{eqnarray*} \langle Sx ,y \rangle=\langle x , S^+y \rangle \end{eqnarray*}$

sondern:
$\begin{eqnarray*} \langle S x , S y, \rangle=\langle x , S^+Sy \rangle \end{eqnarray*}$

und so ist die Aufgabe gestellt worden, ich kann auch nichts dafür dass die Aufgaben blöd gestellt sind

01.06.2007, 11:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von charpius1999
Es ist ein Skalarprodukt im komplexen Raum!

Was für ein komplexer Raum? Was für ein Skalarprodukt? Du solltest schon ordentlich auf die Fragen antworten, die man dir stellt...

Zitat:

Original von charpius1999
Es ist nicht:
$\begin{eqnarray*} \langle Sx ,y \rangle=\langle x , S^+y \rangle \end{eqnarray*}$

sondern:
$\begin{eqnarray*} \langle S x , S y, \rangle=\langle x , S^+Sy \rangle \end{eqnarray*}$

und so ist die Aufgabe gestellt worden, ich kann auch nichts dafür dass die Aufgaben blöd gestellt sind

Lieber charpius. Ich weiß, wie man die Aufgabe löst. Und es gilt DOCH

$\begin{eqnarray*} \langle Sx ,y \rangle=\langle x , S^+y \rangle \end{eqnarray*}$

Wenn du y := Sz setzt, hast du dein Ergebnis. Ich finde es nur sinnvoller, obiges zu beweisen, denn das ist allgemeiner und trifft die Sache im Kern besser. Das S^+ nennt man übrigens die adjungierte Matrix.

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