Figur der Acht

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01.06.2007, 13:50	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Figur der Acht Hi! Die Figur der Acht ist durch die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \varphi(t)=\left\{\begin{array}{cl}1-\exp(it) & \textrm{für } t\in[0,2\pi] \\ -1+\exp(it)&\textrm{für } t\in [2\pi,4\pi]\end{array}\right. \end{eqnarray}$ gegeben. Wir sollen das Integral $\begin{eqnarray} \int_C~\cfrac{dz}{1-z^2}~ \end{eqnarray}$ über dieser Kurve bestimmen. Ich habe mir nun gedacht, man könnte einfach rechnen $\begin{eqnarray} \int_C~f(z)~dz=\int_{z_1(t)+z_2(t)}~f(z)~dz=\int_{z_1(t)}~f(z)~dz+\int_{z_2(t)}~f(z)~dz \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ die erste der beiden Parametrisierungen von oben sei und so fort. Dann einfach einsetzen und ausrechnen. Dann würde ich stehen haben $\begin{eqnarray} \int_C~f(z)~dz=\int_{0}^{2\pi}\cfrac{-i\cdot e^{it}}{2e^{it}-e^{2it}}~dt+\int_{2\pi}^{4\pi}\cfrac{i\cdot e^{it}}{2e^{it}-e^{2it}}~dt \end{eqnarray}$ Nun, da kommt dann aber Null raus??? In einem Buch wurde die Lösung $\begin{eqnarray} -2\pi i \end{eqnarray}$ angegeben. Sind meine Integrationsgrenzen falsch, oder wo liegt der Denkfehler??? Danke euch für die Antworten!
01.06.2007, 14:05	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figur der Acht ich denke deine parametrisierung des weges ist falsch. du durchläufst mit der parametrisierung keine klassische acht, sondern du hast dann im nullpunkt einen "Knick", womit deine parametrisierung auch nicht differenzierbar wäre. Ausweg: $\begin{eqnarray} \varphi(t)=-1+e^{-it} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in[2\pi,4\pi] \end{eqnarray}$ .
01.06.2007, 14:22	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figur der Acht Mmmhh, so stand es aber in der Aufgabenstellung die uns gegeben wurde. In der Tat hätten wir ja dort eine nicht differenzierbare Stelle. Soll ich einfach die Angabe ändern??? Ich rechne das gleich mal aus. Ist der Ansatz sonst richtig?
01.06.2007, 14:24	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figur der Acht der ansatz stimmt sonst so, ja.
01.06.2007, 14:32	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figur der Acht Hab jetzt deine Parametrisierung genommen, und da komme ich auf 0 als wert für das Integral! deckt sich nicht mit der lösung aus dem buch!
01.06.2007, 14:38	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figur der Acht poste mal deinen rechenweg. womöglich hast du da einen vorzeichenfehler drin!
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01.06.2007, 14:54	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figur der Acht Habe es jetzt nochmal ausgerechnet mit deinem Hinweis. Kann ich dir mein pdf-file schicken, weil ich nicht nochmal alles hier rüber kopieren möchte??? hab glaube meinen fehler gefunden. Aber kann ich einfach so die Parametrisierung von meinem Prof ändern???
01.06.2007, 14:59	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es ist doch das Bild einer Acht, oder etwa nicht? Und das Integral ist auch mit der einen nicht differenzierbaren Stelle definiert. Bei mir kommt auch 0 raus, aber ich hab die Paramtrisierung einfach Parametrisierung sein lassen, mir die 2 Seiten-Rechnung gespart und den Cauchyschen Integralsatz genommen. Dann ist viel kürzer.
01.06.2007, 15:09	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann bitte jemand hier die Verwirrung rausnehmen??? Der eine erhält den Wert 0, ich erhalte nun mit der neuen Parametrisierung den angegebenen Wert. Was ist nun richtig???
01.06.2007, 15:09	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das geht auch. daran habe ich nicht gedacht! es kommt jetzt wirklich auf die parametriesierung drauf an!
01.06.2007, 15:30	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich verrechnet. Die Lösung aus deinem Buch könnte stimmen, ich hab zwar den Cauchyschen Integralsatz angewendet, aber nicht drauf geachtet, daß ich einmal eine Kurve nicht im positiven, sondern im negativen Drehsinn durchlaufe. Deshalb ist bei mir noch irgendwo nen Vorzeichenfehler.

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