Lineare Abbildungen

01.06.2007, 21:18

MrMilk

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Lineare Abbildungen

Hallo,

wir haben inzwischen lineare Abbildungen kennen gelernt und ich bei der Bearbeitung einer Aufgabe stehe ich grade auf dem Schlauch.

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n mit reellen Koeffizienten. Ferner sei $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi\left(x^{i}\right):=ix^{i-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\le i\le n \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ .

Hierzu soll ich folgendes berechnen: $\begin{eqnarray*} \varphi(p(x)) \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage, wäre hier die LK die $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Funktion? Wie gesagt, auf diesem Gebiet bin ich noch recht unsicher.

In diesem Sinne ein schönes Wochenende.

Viele Grüße
--MrMilk

01.06.2007, 21:42

therisen

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Ich verstehe nicht was du meinst. Letzten Endes sollst du dein Polynom p einfach nur formal ableiten...

01.06.2007, 21:44

sqrt(2)

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RE: Lineare Abbildungen

Zitat:

Original von MrMilk
Meine Frage, wäre hier die LK die $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Funktion? Wie gesagt, auf diesem Gebiet bin ich noch recht unsicher.

Wofür soll LK stehen? Linearkombination? Dann ergibt deine Frage überhaupt keinen Sinn. p ist eine Linearkombination der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} x^i \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung, und wenn du sie dir genau anschaust, wird dir schnell aufgehen, was sie tut.

01.06.2007, 22:58

MrMilk

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Hallo,

ich glaube ich habe verstanden. Allerdings habe ich doch noch einige Frage:

Wie kann ich folgendes sicher stellen: $\begin{eqnarray*} \varphi (1)=0 \end{eqnarray*}$ . Muss ich da jeden Koeffizieten passend wählen? Also $\begin{eqnarray*} a_n=...a_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ würde ich mit eins wählen?

Hinzu taucht im zusammenhang mit linearen Abbildungen immer das Wort Bild auf. Könnte ich als dieses Bild einfach die abgeleitet Funktion nehmen?

Da die Funktion wie folgt abbilde: $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ , kann ich daraus folgern, dass beide die Räume die gleiche Dimension haben und auch die selben Basen?

Ich hoffe ich habe nicht so viel durcheinander geworfen.

Viele Grüße
-- MrMilk

01.06.2007, 23:01

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Wie kann ich folgendes sicher stellen: $\begin{eqnarray*} \varphi (1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das gilt doch per Definition!

Zitat:

Original von MrMilk
Hinzu taucht im zusammenhang mit linearen Abbildungen immer das Wort Bild auf. Könnte ich als dieses Bild einfach die abgeleitet Funktion nehmen?

Nein. Das Bild einer linearen Abbildung ist eine Menge.

Zitat:

Original von MrMilk
Da die Funktion wie folgt abbilde: $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ , kann ich daraus folgern, dass beide die Räume die gleiche Dimension haben und auch die selben Basen?

Die Aussage ergibt keinen Sinn. Natürlich haben $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die gleiche Dimension! Übrigens gilt $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n-1}[x] \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

01.06.2007, 23:09

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrMilk
Wie kann ich folgendes sicher stellen: $\begin{eqnarray*} \varphi (1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Indem du deinen Professor bittest, die Definition ja nie zu ändern? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist wie in deiner Aufgabe definiert, du sollst nur einen Funktionswert ausrechnen!

Zitat:

Original von MrMilk
Hinzu taucht im zusammenhang mit linearen Abbildungen immer das Wort Bild auf. Könnte ich als dieses Bild einfach die abgeleitet Funktion nehmen?

Du solltest dir die Definition vom Bild einer linearen Abbildung mal ansehen. Da gibt es nichts, was du wählen kannst, das ist eine Eigenschaft der Abbildung. Das Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist übrigens $\begin{eqnarray*} \{p\in\mathcal{P}_n[x]:a_n=0\} \end{eqnarray*}$ mit der Darstellung der p wie oben.

Zitat:

Original von MrMilk
Da die Funktion wie folgt abbilde: $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ , kann ich daraus folgern, dass beide die Räume die gleiche Dimension haben und auch die selben Basen?

Welche beiden Räume meinst du? Natürlich haben $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die gleiche Dimension, es handelt sich um ein- und denselben Raum. Aber nein, Bildraum und Urbildraum haben nicht dieselbe Dimension, der Urbildraum hat hier die Dimension n, der Bildraum, wie du oben sehen kannst, die Dimension n-1.

Die Basis eines linearen Raums kannst du wiederum selbst wählen. Es gibt nicht eine eindeutige Basis (jetzt mal vom trivialen Vektorraum abgesehen), diese ist keine Eigenschaft des Raums.

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02.06.2007, 12:08

MrMilk

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Hallo,

okay, das mit der Definition usw. habe ich verstanden - hoffe ich zumindest.

Aber mir ist noch nicht klar, wie das mit der linearen Abbildung klappen soll.
Angenommen ich nehme mir einen beliebigen Wert aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ . Jetzt möchte ich diesen durch die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ (sei x der beliebige Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ ) abbilden, aber wie kann ich damit den gleichen Wert wieder in $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ darstellen?

Mein Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} Dim(\varphi (x))=n-1 \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht täusche und ich habe sorge, dass ich damit nicht die komplette Menge von $\begin{eqnarray*} Dim(\mathcal P_n[x])=n \end{eqnarray*}$ wieder rekonstruieren kann.

Versteht ihr grob was ich meine?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 12:21

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Jetzt möchte ich diesen durch die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ (sei x der beliebige Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ ) abbilden, aber wie kann ich damit den gleichen Wert wieder in $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ darstellen?

Gar nicht. Das ist doch nur für die identische Abbildung der Fall! Überlege dir mal, was du da schreibst... Das ist absurd!

Zitat:

Original von MrMilk
Mein Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} Dim(\varphi (x))=n-1 \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht täusche und ich habe sorge, dass ich damit nicht die komplette Menge von $\begin{eqnarray*} Dim(\mathcal P_n[x])=n \end{eqnarray*}$ wieder rekonstruieren kann.

Die Schreibweise ergibt keinen Sinn. Und nein, natürlich kannst du nicht die komplette Menge "rekonstruieren" (die Abbildung ist kein Isomorphismus!).

Gruß, therisen

02.06.2007, 12:25

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrMilk
aber wie kann ich damit den gleichen Wert wieder in $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ darstellen?

Gar nicht. Es gibt nur eine Abbildung, die das für beliebige $\begin{eqnarray*} p\in\mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$ macht, und das ist die Identität $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}_{\mathcal P_n[x]} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist nicht die Identität.

Zitat:

Original von MrMilk
Mein Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} Dim(\varphi (x))=n-1 \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht täusche und ich habe sorge, dass ich damit nicht die komplette Menge von $\begin{eqnarray*} Dim(\mathcal P_n[x])=n \end{eqnarray*}$ wieder rekonstruieren kann.

Sollst du auch nicht. (Geht auch nicht.) Alle Ergebnisse liegen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_n[x] \end{eqnarray*}$ , aber das heißt nicht, dass die Gesamtheit aller Ergebnisse gleich $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$ ist. Die Gesamtheit der Ergebnisse ist das Bild der Abbildung, das ich dir oben schon aufgeschrieben habe, und wie du selbst merkst, ist das nicht gleich $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$ .

Das einzige, was du tun sollst, ist einfach nur p in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzen und $\begin{eqnarray*} \varphi(p) \end{eqnarray*}$ berechnen!

02.06.2007, 12:46

MrMilk

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Sollst du auch nicht. (Geht auch nicht.) Alle Ergebnisse liegen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_n[x] \end{eqnarray*}$ , aber das heißt nicht, dass die Gesamtheit aller Ergebnisse gleich $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$ ist. Die Gesamtheit der Ergebnisse ist das Bild der Abbildung, das ich dir oben schon aufgeschrieben habe, und wie du selbst merkst, ist das nicht gleich $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$ .

Würde das so etwas bedeuten, wie das die Abbildungsfunktion injektiv, aber nicht surjektiv ist?

Ich muss zugegeben, irgendwie bin ich noch sehr......sehr unsicher unglücklich

unglücklich

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 12:48

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrMilk
Würde das so etwas bedeuten, wie das die Abbildungsfunktion injektiv, aber nicht surjektiv ist?

Sie ist noch nicht einmal injektiv. $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=\varphi(2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Falls ihr den Dimensionssatz schon hattet, kannst du auch einfach an $\begin{eqnarray*} \operatorname{dim}\operatorname{ker}\varphi=n-(n-1)=1 \end{eqnarray*}$ ablesen, dass die Abbildung nicht injektiv ist.

02.06.2007, 12:54

MrMilk

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Hallo sqrt2,

ich muss leider sagen, das mir der Begriff Kern noch nichts sagt.
Allerdings habe ich eine Frage $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=\varphi(2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(2)=0 \end{eqnarray*}$ ist? Vermutlich übersehe ich grade nur eine sehr wichtige Tatsache, aber ich dachte ich hätte nur informationen über $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ ...

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 12:59

therisen

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$\begin{eqnarray*} \varphi(2)=\varphi(1+1)=\varphi(1)+\varphi(1)=0+0=0 \end{eqnarray*}$

02.06.2007, 13:01

sqrt(2)

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Zitat:

Original von MrMilk
Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(2)=0 \end{eqnarray*}$ ist? Vermutlich übersehe ich grade nur eine sehr wichtige Tatsache, aber ich dachte ich hätte nur informationen über $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ ...

Ich weiß das, weil ich gesehen habe, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eigentlich nur die Ableitungsabbildung für Polynome vom Grad kleiner oder gleich n ist. Aber selbst, wenn man das nicht eingesehen hat, kann man das einsehen, etwa indem man es schlicht und einfach ausrechnet, oder, und ja, da hast du eine sehr wichtige Tatsache übersehen, dadurch, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ linear ist:

$\begin{eqnarray*} \varphi(2)=\varphi(2\cdot 1)=2\varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

02.06.2007, 13:35

MrMilk

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Vermutlich ergibt dieses Frage auch wieder keinen Sinn, aber trotzdem würde ich sie gerne stellen.

Die lineare Abbildung ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$
Meine Frage ist nun, wo ich das x einsetzen kann, wenn ich $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ schreibe...

Würde dieses bedeuten wenn ich die 1 einsetze dass ich fogendes Polynom betrachte: $\begin{eqnarray*} p(1)=\sum_{i=0}^{1}a_{i}x^{i}\in\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist? Und wenn ich dieses in die $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Funktion packe erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \varphi(1)=\biggl( \sum_{i=0}^{1}~a_i\cdot x^i \biggr)' = a_1 \end{eqnarray*}$

Es wurde in diesem Fall $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ mit eins gewählt, was nach Vorgabe so sein muss damit $\begin{eqnarray*} \varphi(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 13:41

therisen

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Was treibst du da nur? Mir fehlen langsam die Worte, sorry. Dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , welches du in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist irgendein Polynom vom Grad kleiner gleich n.

Ist $\begin{eqnarray*} z:=\sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ , dann folgt (lineare Fortsetzung)

$\begin{eqnarray*} \varphi(z) = \sum_{k=0}^n a_k \varphi(x^k) \end{eqnarray*}$

Die Bilder der kanonischen Basis kennst du aber (nach Definition!)

Gruß, therisen

02.06.2007, 13:55

MrMilk

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Entschudigung, möchte ihr keinen verärgern...

Bin ich richtig in der Annahme, wenn ich als Basis $\begin{eqnarray*} \{ x^{n-1},...,1\} \end{eqnarray*}$ annehme?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 13:56

therisen

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Wovon soll das eine Basis sein?

02.06.2007, 23:49

MrMilk

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Hallo therisen,

für eine Basis vom Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 01:37

sqrt(2)

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Warum kümmerst du dich um Basen? Du hast eine gegeben, nämlich $\begin{eqnarray*} \{x^i|1\leq i\leq n\} \end{eqnarray*}$ . Auf diese Basis bezieht sich deine Abbildung. Du musst keine neue definieren. Du musst nur $\begin{eqnarray*} \varphi(p) \end{eqnarray*}$ mit dem p, das du gegeben hast, ausrechnen.

Ich frag mich wirklich, was du daran nicht verstehst... verwirrt

verwirrt

03.06.2007, 01:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
für eine Basis vom Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Ja, das ist eine Basis des Bildes von phi. Richtig! Hör nicht auf sqrt(2). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber er hat recht damit, dass das nicht Teil der Aufgabe ist. Vielleicht solltest du die zuerst lösen.

03.06.2007, 10:38

MrMilk

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Hallo sqrt2,

okay, hier nun was ich nicht daran verstehe.

Ich stelle mir die lineare Abbildung wie eine Transformation von einem VR in einen anderen VR vor.
Ich bin im Augenblick in der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ eine Dimension von n+1 besitzt. Mir kommt es so vor, als wenn meine $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Funktion zwar in den gleichen Raum abbildet, aber ihn nicht voll ausnutzt.

Du fragst dich jetzt bestimmt, wieso schreibt der Junge ein solch wirres Zeug auch noch öffentlich.

Und zwar wenn ich das ganze Polynom einmal ableite, so fällt doch zum Schluss $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ raus, da es eine Konstante ist. Und alle Exponenten von x verringern sich um eins.
Aus diesem Grund nehme ich an, dass das Bild nur noch eine Dimension von n-1 hat.
So jetzt soll ich mir daszu noch eine Basis überlegen.
Also habe ich mir gedacht, wenn ich mit der $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Funktion nur noch bis zum Grad n-1 transformiert, brauch ich gar nicht mehr n. Also geht meine Basis vom Bild nur bis $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Verstehst du was ich sagen möchte?
Bitte antworte ich mit das ist doch nach Definition so bzw. das ist trivial.

Ich habe mir gestern morgen, mittag, abend und heute morgen jeweils nochmals die Aufgabenstellung durchgelesen um eure Gedanken nochvollziehen zu können, aber bin irgendwie zu doof dafür traurig

traurig

In diesem Sinne einen schönen Sonntag. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße
--MrMilk

03.06.2007, 12:02

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Und zwar wenn ich das ganze Polynom einmal ableite, so fällt doch zum Schluss $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ raus, da es eine Konstante ist.

Konstant ist doch nur $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ . Ach ja, und es heißt nicht $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (n+1)-1=n \end{eqnarray*}$ bei der Dimension Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten stimmen deine Überlegungen Freude

Freude

Gruß, therisen

03.06.2007, 13:09

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

bei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n+1)-1=n \end{eqnarray*}$ stimme ich dir natürlich zu.

Aber ich habe dennoch eine Überlegung.

Angenommen ich möchte die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ auf die Eigenschaften surjektiv und injektiv untersuchen.

Surjektivität
Ich würde hier wieder schreiben, dass es nicht surjektiv sein kann, da das Bild eine keinere Dimension hat als der komplette Abbildungsbereich. (Kannst du mir einen Tipp geben, wie dieses formal ausgedrückt werden kann?)
$\begin{eqnarray*} Dim(Im(\varphi))<Dim(\mathcal P_n[x]) \end{eqnarray*}$

Injektivität
Hier habe ich immer noch das gleiche Problem wie am Anfang.
Inzwischen ist mir klar, dass ich ein Polynom übergebe, aber es bleibt noch für mich folgendes offen.
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ nach Definition gilt. Meine Frage ist nun, ob die eins ein Polynom vom Grad eins wiederspiegelt.

Angenommen ich hätte des mit der Surjektivitäti richtig verständen, könnte man die folgende Funktion einmal betrachten: $\begin{eqnarray*} \varphi':\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$

Surjektivität
Hier würde ich behaupten, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi' \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, das in diesem Fall beide Dimensionen gleich sind.

Injektivität
Kann ich im Augenblick noch nichts festes sagen.

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 13:18

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Surjektivität
Ich würde hier wieder schreiben, dass es nicht surjektiv sein kann, da das Bild eine keinere Dimension hat als der komplette Abbildungsbereich. (Kannst du mir einen Tipp geben, wie dieses formal ausgedrückt werden kann?)
$\begin{eqnarray*} Dim(Im(\varphi))<Dim(\mathcal P_n[x]) \end{eqnarray*}$

Ja, die Begründung ist richtig. Es genügt aber bereits zu zeigen, dass die Funktion nicht injektiv ist (für Endomorphismen in endlichdimensionalen Vektorräumen ist das äquivalent).

Zitat:

Original von MrMilk
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ nach Definition gilt. Meine Frage ist nun, ob die eins ein Polynom vom Grad eins wiederspiegelt.

$\begin{eqnarray*} 1=1\cdot x^0+0\cdot x + 0\cdot x^2 + \dots + 0\cdot x^n \end{eqnarray*}$

Welchen Grad hat die 1 also?!

Zitat:

Original von MrMilk
Angenommen ich hätte des mit der Surjektivitäti richtig verständen, könnte man die folgende Funktion einmal betrachten:
$\begin{eqnarray*} \varphi':\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$

Was soll das sein?

Gruß, therisen

03.06.2007, 13:30

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

das Polynom hat wieder den Grad $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , korrekt?
Aber wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \varphi(2) \end{eqnarray*}$ linear abbilden möchte, wie würde es dann aussehen?
Ihr hattet dieses angegeben, um mir zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist.

Anstatt $\begin{eqnarray*} \varphi':\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ meinte ich natürlich $\begin{eqnarray*} \varphi':\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n-1}[x] \end{eqnarray*}$ . Irgendwie habe ich beim kopieren vergessen dieses zu erledigen.

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 13:33

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrMilk
das Polynom hat wieder den Grad $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , korrekt?

Nein. Schau dir die Definition an. http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom#Definition

Zitat:

Original von MrMilk
Aber wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \varphi(2) \end{eqnarray*}$ linear abbilden möchte, wie würde es dann aussehen?

Habe ich bereits geschrieben.

Zitat:

Original von MrMilk
Anstatt $\begin{eqnarray*} \varphi':\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ meinte ich natürlich $\begin{eqnarray*} \varphi':\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n-1}[x] \end{eqnarray*}$ . Irgendwie habe ich beim kopieren vergessen dieses zu erledigen.

Das ist immer noch keine Abbildung. Die Abbildungsvorschrift fehlt.

03.06.2007, 14:03

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

ichmuss mich korrigieren. Ich gehe von dem Grad 0 aus.
So besser?

Nun jetzt $\begin{eqnarray*} \varphi' \end{eqnarray*}$ vollständig.

$\begin{eqnarray*} \varphi': \mathcal P_n[x] \to \mathcal P_{n-1}[x] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0, \varphi(x^i)=ix^{i-1} \end{eqnarray*}$

Würde darauf meine Behauptung zur surjektivität stimmen?

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 14:05

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zweimal ja.

03.06.2007, 14:10

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort ;-)

$\begin{eqnarray*} \varphi(2)=\varphi(1+1)=\varphi(1)+\varphi(1)=0+0=0 \end{eqnarray*}$ ,

dieses meintest du richtig?

Daraus würde ich dann entnehmen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi, \varphi' \end{eqnarray*}$ beide nicht injektiv sind mit der gleichen Begründen.
Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 14:11

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

03.06.2007, 14:43

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, legst du jetzt eigentlich noch Wert darauf, die Aufgabe zu lösen, MrMilk? verwirrt

verwirrt

03.06.2007, 19:48

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sqrt(2),

bitte nehm es mir nicht böse, aber was steht deiner Ansicht nach noch grade offen?

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 19:49

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abbildungen

Zitat:

Original von MrMilk
Sei $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ .

Hierzu soll ich folgendes berechnen: $\begin{eqnarray*} \varphi(p(x)) \end{eqnarray*}$ .

Das ist noch nicht zu 100% beantwortet (aber fast, siehe mein obiger Beitrag Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

03.06.2007, 19:56

MrMilk

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Oh, dann habe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen Hammer

Hammer

In diesem Fall wäre es:

$\begin{eqnarray*} \varphi(p(x))=\sum_{i=0}^{n}(a_{i}\cdot i \cdot x^{i-1}) -a_0 \end{eqnarray*}$ , richtig?

Veile Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 19:59

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, was soll das $\begin{eqnarray*} -a_0 \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2007, 20:06

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,
das war Quatsch.
$\begin{eqnarray*} \varphi(p(x))=\sum_{i=0}^{n}(a_{i}\cdot i \cdot x^{i-1}) \end{eqnarray*}$ , aber so sollte es passen, oder?

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 20:09

therisen

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Ja, das lässt sich noch etwas vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2007, 20:30

MrMilk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen, wie möchtest du das noch vereinfachen?
Meinst du Indexverschiebung, sprich nicht mehr im Exponenten -1 rechen?

Viele Grüße
-- MrMIlk

03.06.2007, 20:31

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel, ja. Und was ist denn $\begin{eqnarray*} 0\cdot x \end{eqnarray*}$ ?

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