Umkehrfunktion bilden

01.06.2007, 21:30

DidiBo

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Umkehrfunktion bilden

Hallo Leute Wink

Wink

Also ich hoffe es kann mir einer von euch helfen, ich sitze hier nämlich gerade über meiner Einsendearbeit und weiß nicht mehr weiter.

Ich soll die Umkehrfunktion von folgender Funktion bilden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[4]{x+1} \end{eqnarray*}$

Leider bin ich nicht gerade mit einer ausgeprägten Mathe Begabung gesegnet.

Laut meinen Unterlagen würde ich jetzt mal vermuten, dass die Lösung wie folgt lautet:

f^-1 = y^4 + 1^4

Kann mir bitte jemand helfen?

Danke schonmal im Voraus.

MfG

Didi

01.06.2007, 21:56

brain man

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Also zu allererst sind der Definitions- und Wertebereich bei Wurzelfunktionen wichtig - ergo :

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{\geq 0}\to \mathbb R^{\geq 0} && x \to \sqrt[4]{x+1} \end{eqnarray*}$

Und zur Umkehrfunktion : Variablen vertauschen und nach x auflösen - Für die entstehende Fkt. wieder Def.- und Wertebereich ermitteln.

01.06.2007, 22:13

DidiBo

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Erstmal danke für deine schnelle Antwort!

Also müsste ich demnach wie folgt vorgehen:

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt[4]{y+1} \end{eqnarray*}$ /-1
$\begin{eqnarray*} x -1=\sqrt[4]{y} \end{eqnarray*}$

ist das wenigstens schon ein wenig in die richtige Richtung?

MfG

Didi

01.06.2007, 22:19

system-agent

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überprüfe erstmal noch wo die funktion überhaupt umkehrbar ist (kannst du auch via ableitung machen, schränkst du die funktion auf intervalle ein, in denen die ableitung streng positiv oder negativ ist, ist sie auf diesen intervallen umkehrbar)

nun zum auflösen, was machst du denn?
du sollst $\begin{eqnarray*} y=\sqrt[4]{x+1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lösen.
dazu musst du erstmal die wurzl beseitigen, ein tipp:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[n]{x}\Rightarrow y^n=x \end{eqnarray*}$

01.06.2007, 22:19

brain man

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Der Gedanke ist gut - aber an der Umsetzung hapert es : Die Wurzelgesetze gelten nur für Multiplikation/Division. Es ist :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}*\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Damit und dem Hinweis, dass die 4. Wurzel mit 4-fachem potenzieren rückgängig gemacht wird, solltest du es hinkriegen.

25.06.2007, 15:27

DidiBo

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Wink

Hallo,

jetzt hab ich mich ja schon ne ganze Weile nicht mehr um diese Aufgabe gekümmert, aber leider muss ich sie ja machen unglücklich

unglücklich

.

Nun ja, also werde ich nun einen neuen Lösungversuch starten.

Nun bin ich bei meinen Überlegungen auf folgendes Ergebnis gestoßen:

$\begin{eqnarray*} f^-1= 4x-1 \end{eqnarray*}$

Bin ich nun vielleicht dem Ziel näher gekommen?

Bis dann

Didi

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25.06.2007, 15:42

Bjoern1982

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Stimmt leider nicht....wobei die 4 nur an der falschen Stelle steht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie kommst du auf diese Funktion ?

Gruß Björn

25.06.2007, 15:53

DidiBo

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mmmh,

naja, wie komme ich auf diese Funktion?

Ich dachte eigentlich, dass dies die Umkehrfunktion ergibt, wenn ich das wurzelzeichen weghabe.

Bei mir ist es leider so, dass ich das mathematische Wissen nicht gerade gepachtet habe, dass ist wahrscheinlich so als wenn man Schweinen das Fliegen beibringen will Big Laugh

Big Laugh

.

Dann versuch ichs jetzt einfach mal mit raten. Du meinst also das die 4 nur an der falschen Stelle steht?

Ich weiß raten ist blöd, aber besser als nix:

$\begin{eqnarray*} f^-1= x^4-1 \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt so besser???

Bis dann

Didi

25.06.2007, 16:04

Bjoern1982

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Naja raten kannst du dann aber umso besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber lass uns das doch auch mal richtig herleiten:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[4]{x+1}<=>y=(x+1)^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Jetzt nach x auflösen, indem du beide Seiten "hoch 4" rechnest und auf der rechten Seite ausnutzt, dass das Gesetz $\begin{eqnarray*} (a^n)^m=a^{n \cdot m} \end{eqnarray*}$ gilt.

Kriegst du das hin ?

Björn

25.06.2007, 16:11

DidiBo

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Ich versuchs mal,

y=x^4 + 1^4

y=x^4 + 1

Kommt das so hin?

Allerdings versteh nich noch nicht so ganz, wie das Minuszeichen zustande kommt.

25.06.2007, 16:18

Bjoern1982

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Du musst schon genau das machen was ich schreibe, also wirklich BEIDE Seiten mit 4 potenzieren. Und auf der rechten Seite der Gleichung musst du eben das von mir beschriebene Potenzgesetz anwenden, damit die Wurzel wegfällt, wobei auf deine Aufgabe bezogen a=x+1 und n=1/4 und m=4 gilt.

Gruß Björn

25.06.2007, 16:31

DidiBo

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Also noch ein Versuch:

(y^1/4)^4=x^4+1^4

y^1/4*4= x^4+1

y^1=x^4+1

so besser?

25.06.2007, 21:29

Bjoern1982

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Nein.

Gehe von dieser Gleichung aus:

$\begin{eqnarray*} y=(x+1)^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Was entsteht wenn die linke Seite, also das y mit 4 potenzierst ?

28.06.2007, 14:59

DidiBo

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Wenn ich y mit 4 potenziere, dann würde ich
$\begin{eqnarray*} y^{4} \end{eqnarray*}$ erhalten.

und wenn ich das dann mit 1/4 multiplieziere, bekomme ich da 1 raus.

Und wenn ich auf der rechten Seite das x + 1 mit 1/4 multiplieziere,

komme ich auf x^4 +1.

Aber wie komme ich auf das Minuszeichen???

Bis dann Didi

28.06.2007, 15:02

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn ich y mit 4 potenziere, dann würde ich
$\begin{eqnarray*} y^{4} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Genau.

Jetzt wird aber doch nicht mit 1/4 multipliziert.

Die linke Seite der Gleichung hast du nun mit 4 potenziert, jetzt ist die rechte Seite dran.

Gruß Björn

02.07.2007, 14:33

DidiBo

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Freude

juhu, dann hätten wir das ja schonmal geschafft.

wenn ich nun die rechte Seite mit 4 potenziere erhalte ich

$\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 1^{4} \end{eqnarray*}$

also hätte man dann stehen:

$\begin{eqnarray*} y^{4} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 1^{4} \end{eqnarray*}$ .

So müsste es doch sein oder?

Sorry, aber irgendwie hängt das Pluszeichen zu weit oben, ihr wisst aber was ich meine, oder?

Bis dann
Didi

02.07.2007, 15:13

Bjoern1982

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Zitat:

wenn ich nun die rechte Seite mit 4 potenziere erhalte ich

$\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} 1^{4} \end{eqnarray*}$

Nein, wie kommst du überhaupt darauf verwirrt

verwirrt

Wenn du $\begin{eqnarray*} (x+1)^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ mit 4 potenzierst erhälst du:

$\begin{eqnarray*} ((x+1)^{\frac{1}{4}})^4 \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist eben der letzte Schritt noch dieses eine Potenzgesetz anzuwenden: $\begin{eqnarray*} (a^n)^m=a^{n \cdot m} \end{eqnarray*}$

An der Basis ändert sich nichts, nur die Exponenten werden laut diesem Gesetzt miteinander multipliziert.

Gruß Björn

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