Generelle Angaben ueber Polynomfunktionen

02.06.2007, 03:18

Lepton

Generelle Angaben ueber Polynomfunktionen

Hallo allerseits!

Zwei kurze Fragen zu generellen Angaben, die man ueber Polynomfunktionen nten Grades machen kann.

1. Wenn die nte Ableitung von x = 0 ist also: $\begin{eqnarray*} f^{(n)} = 0 \end{eqnarray*}$ welchen Grades ist die Polynomfunktion?

Mein erster Instinkt war einfach $\begin{eqnarray*} \leq n-1 \end{eqnarray*}$ , aber bei Wendepunkten ist es ja so, dass f' und f'' = 0 sein muessen, f''' aber nicht 0 sein darf. Also kann es von 0 wieder auf einen anderen Wert wechseln... was bedeutet das nun aber fuer die Aussage ueber den Grad der Funktion? Ist es moeglicherweise bei einer Polynomfunktion einfach bei n+1 zum ersten Mal mit Sicherheit 0? Dann koennte man mit Sicherheit sagen, es waere eine Funktion $\begin{eqnarray*} \leq n+1ten \end{eqnarray*}$ Grades?

2. Wie viele Wendepunkte kann eine Polynomfunktion nten Grades haben?

Funktionen 1. Grades haben keinen Wendepunkte. danach aber bei jedem Grad einen im Scheitel? Dann waeren das also n-1 Wendepunkte?

Verwirrend Augenzwinkern

02.06.2007, 07:35

cst

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RE: Generelle Angaben ueber Polynomfunktionen
1)

Zitat:

aber bei Wendepunkten ist es ja so, dass f' und f'' = 0 sein muessen, f''' aber nicht 0 sein darf.

Nicht ganz: f' braucht nicht Null zu sein. Wenn du einfach mal ein paar Polynome solange ableitest, bis Null herauskommt, siehst du schnell, dass bei Fkt'n n-ten Grades alle Ableitungen ab einschließlich der (n+1)ten identisch verschwinden (d.h. überall Null sind). Oder andersrum: Wenn $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle x, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ höchstens vom Grad $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ .

2) Ist f(x) Polynomfkt. vom Grad n, dann ist f''(x) eine Polynomfkt. vom Grad n-2. Ein Polynom vom Grad m kann maximal m Nullstellen haben (Fundamentalsatz der Algebra). Also: Eine Fkt. n-ten Grades kann höchstens n-2 Wendepunkte haben.

02.06.2007, 08:43

Airblader

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Zu 2.)

Scheitel sind keine Wendepunkte! smile

air
(Juhu, bin 17 ... noch ein Jahr älter.... Big Laugh

)

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