Rekursion

02.06.2007, 13:04

donvito

Rekursion

Hallo,
ich habe mal wieder Probleme bei einer Aufgabe:

Lösen Sie die folgende homogene, lineare Rekursionsgleichung mit Anfangsbedingungen.
$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4 a_n, a_0 = a_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Verwenden Sie dafür die Methode der Erzeugenden Funktionen, wie im Beispiel aus der Vorlesung...

Meine erste Frage wäre erstmal was meinen die mit lösen? Soll ich das Ding nach an auflösen? Vielleicht kann mir ja mal jmd stichwortartig erklären was hier zu tun ist Mit Zunge

Das Beispiel aus der Vorlesung sagt mir leider rein garnichts, da dort eine erzeugende Funktion gegeben ist.... also genau umgekehrt wie hier.

02.06.2007, 13:16

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Gemeint ist vermutlich die Angabe einer explizite Darstellung von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

04.06.2007, 19:27

donvito

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Und wie stelle ich das an? Kann mir vielleicht mal jmd stichwortartig erklären wie man das erreicht?

04.06.2007, 19:33

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Zitat:

Original von donvito
Verwenden Sie dafür die Methode der Erzeugenden Funktionen, wie im Beispiel aus der Vorlesung...

Den Weg kenne ich nicht.

Ich kenne es über den Ansatz $\begin{eqnarray*} a_n=n^k\lambda^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k\leq v-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Lösung der charakteristischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-4\lambda+4=0 \end{eqnarray*}$

in Vielfachheit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist.

04.06.2007, 19:36

donvito

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Unglaublich, wir machen was, das du ned kennst geschockt

Kann ja ned wichtig sein Freude

Trotzdem danke!

04.06.2007, 19:37

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Man muss ja nicht jeden Weg kennen, solange man wenistens einen kennt. Augenzwinkern

Im übrigen:

Zitat:

Original von donvito
Verwenden Sie dafür die Methode der Erzeugenden Funktionen, wie im Beispiel aus der Vorlesung...

Erzähl doch mal!

05.06.2007, 08:40

donvito

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Eben das ist es ja, denn in diesem Bsp war die erzeugende Funktion gegeben!!

05.06.2007, 10:00

Leopold

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Mache den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y = \sum_{n \geq 0}~a_n x^n = 1 + x + x^2 \sum_{n \geq 0}~a_{n+2} \, x^n \end{eqnarray*}$

Verwende in der Summe die Rekursionsbeziehung und drücke die Summen wieder durch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus.

Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} y = 1 + x + 4x \left( y - 1 \right) - 4x^2 y \end{eqnarray*}$

Löse nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf und entwickle in eine Taylorreihe. Koeffizientenvergleich liefert dir die gewünschte explizite Formel für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

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