vervollständigung |
| 02.06.2007, 11:52 | appendix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| vervollständigung ich bin physiker und wir machen in ana II unter anderen schönen sachen natürlich auch banachräume. es wird viel gerechnet... zB zeige für ein konkrete funktionenfolge (die gegeben ist) dass sie in (die doppelnormstriche funktionieren nicht, normalerweise mit /l) keine cauchyfolge ist und somit der raum kein vollständiger raum ist-also kein banachraum.hingegen dieselbe folge im schon eine cauchyfolge ist. eigentlich nicht so schwer, es bleibt nur irgenwie eine eher qualitative frage ungeklärt: was bringt die vervollständigung bzw was kann man auf ihr aufbauen. (ich hab im heuser und in unserem skriptum nichts gefunden) danke auf jeden fall. |
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| 02.06.2007, 11:57 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung du meinst also, du sollst eine cauchy-folge finden, die in nicht konvergiert! |
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| 02.06.2007, 11:59 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung vollständigkeit eines normierten raumes bedeutet ja, dass jede cauchy-folge in diesem raum konvergent ist! |
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| 02.06.2007, 12:18 | appendix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung äh entschuldigung, aber ich schrieb "für eine konkrete funktionenfolge". also wir müssen keine finden sondern nur zeigen dass die gegebene (wie sie genau ausschaut spielt hier keine rolle) bei der 1-norm eine cauchyfolge und bei der inf-norm keine ist. aber nachdem ja für einen vollständigen raum alle folgen cauchyfolgen sein müssen ist somit gezeigt dass der raum bezüglich der inf norm kein banachraum ist. dass ganze sollte aber nur der einleitung dienen, die eigentliche frage ist: warum stehen alle auf den banachraum? |
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| 02.06.2007, 12:24 | appendix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung @"vollständigkeit eines normierten raumes bedeutet ja, dass jede cauchy-folge in diesem raum konvergent ist!" ich glaube dass is nicht ganz korrekt, es gibt einen satz der lautet: jede konvergente folge ist eine cauchyfolge. also wenn wir zeigen das eine cauchyfolge vorliegt haben wir es automatisch mit einer konv. zu tun. vollständigkeit bedeutet ja dass die menge V (der raum) überall dicht liegt, was man eben mit cauchyfolgen zeigen kann. |
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| 02.06.2007, 12:25 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung nein, das ist falsch. in einem banachraum, also einem vollständigen normierten raum, besitzt jede cauchy-folge einen grenzwert. aber es gibt natürlich in jedem normierten raum folgen, die keine cauchy-folge sind!!! da hast du die definition der vollständigkeit falsch verstanden!!! |
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| 02.06.2007, 12:28 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung nochmal genauer: jede konvergente folge in einem normierten raum ist immer eine cauchy folge, ganz gleich, ob er vollständig ist, oder nicht. es gibt aber normierte räume, in denen cauchy-folgen existieren, die keinen grenzwert besitzen. also gibt man denjenigen räumen, in denen auch jede cauchy-folge einen grenzwert besitzt einen besonderen namen...das sind dann vollständige räume!!! |
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| 02.06.2007, 14:59 | appendix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@"nein, das ist falsch. in einem banachraum, also einem vollständigen normierten raum, besitzt jede cauchy-folge einen grenzwert" meiner meinung habe ich nie etwas anderes behauptet. ich verstehe dein problem nicht. zu dem was ich sagte: vollständigkeit bedeutet ja dass die menge V (der raum) überall dicht liegt. (so neben bei, dass is nicht von mir dass is aus unserem skriptum, also vermute ich mal nicht falsch.) dass mit dem in dicht liegen kann man mit cauchyfolgen zeigen. den wenn jede cauchyfolge SAMT GRENZWERT im raum ist, dann liegt die menge überall dicht. zitiere harro heuser I (p.156) "locker formuliert:späte glieder einer konvergenten folge liegen beliebig dicht beieinander. eine derart verdichtete folge nennen wir cauchyfolge...." wenn wir also zeigen dass alle cauchyfolgen mit grenzwert im raum liegen ist die menge überall dicht! @" es gibt aber normierte räume, in denen cauchy-folgen existieren, die keinen grenzwert besitzen. " ich glaub schon wieder das is ein bisschen unkorrekt, weil wie du selbst sagst: eine folge konvergiert genau dann wenn sie cauchyfolge ist. es gibt also keine cauchyfolgen die nicht konvergieren, was du meinst ist dass sie nicht in dem raum konvergieren, was ja wohl was anderes ist. das beste und oft zitierte bsp. im Raum Q gibt es cauchyfolgen die nicht in Q konvergieren. zB eine folge mit dem grenzwert bevor wir uns hier in details schmeissen die mich gar nicht so wesentlich interessieren(ich studiere nicht mahte), hat noch keiner meine frage versucht zu beantworten: warum ist der banachraum so toll??? bitte um antwort. |
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| 02.06.2007, 15:04 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe NIE behauptet, dass eine folge GENAU DANN konvergiert, wenn sie eine cauchy folge ist. was ich sagte ist: ist eine folge konvergent, so ist sie bereits eine cauchy-folge. die umkehrung gilt im allgeimeinen nicht!!! ich glaube aber, was du meinst ist nich die vollständigkeit eines normierten raumes, sondern die VERVOLLSTÄNDIGUNG eines normierten raumes... in dem sinne haben wir die ganze zeit aneinander vorbeigeredet 
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| 02.06.2007, 15:14 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und noch eine bemerkung: "es gibt aber normierte räume, in denen cauchy-folgen existieren, die keinen grenzwert besitzen" es ist richtig was du sagst...es hätte noch der zusatz gefehlt: "...die keinen grenzwert in diesem raum besitzen."
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| 02.06.2007, 16:14 | appendix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann leiccht sein dass wir etwas aneinander vorbeiredeten, ich dachte zwischen der untersuchung ob ein raum vollständig ist und der vervollständigung ist nicht viel unterschied. man nimmt einnfach alle cauchyfolgen samt grenzwerten dazu ung hat einen vollständigen raum. wie das im detail funktioniert is mir eigentlich auch egal. insofern ist vielleicht der titel meiner frage nicht korrekt. ok. aber "eine folge konvergiert genau dann wenn sie cauchyfolge ist." is leider schon wieder nicht von mir sondern steht im heuser p.166 gannz oben. stimmt also mit hoher wahrscheinlichhkeit. aber auch wurscht. irgenwer wird mir wohl meine FRAGE beantworten können!!!!!!!!!!!!!!! bitte verrdammt. |
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| 02.06.2007, 16:18 | Orakel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zum heuser-statement: diese aussage bezieht sich nur auf folgen aus oder halt . |
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| 02.06.2007, 18:57 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Würdest du uns dann vielleicht auch mal verraten, was du genau hören willst? Orakel scheinst du offenbar nicht zu glauben, obwohl alle seine Statements wahr sind. |
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| 02.06.2007, 19:54 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vervollständigung
Vielleicht schaust du nochmal in die Bücher und machst dich mit den Begriffen vertrauter. Du scheinst ein bißchen verwirrt zu sein. Schau dir Orakels Beiträge an. Dann kannst du noch etwas lernen. |
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| 02.06.2007, 19:58 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: vervollständigung Lies vor allem mal die Kapitelvoraussetzungen, bevor du mit so absoluten Aussagen, wie z.B.
um dich wirfst. Aber vielmehr ärgert mich eigentlich die Ignoranz die du gegenüber Orakel zum Ausdruck gebracht hast. Nimms mir nicht übel, aber das musste ich noch mal loswerden. |
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| 03.06.2007, 00:20 | appendix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok es ist etwas lustig geworden wies scheint. ich würde sagen das mit orakel war ein normales gespräch mit ein paar unklarheiten. falls dass mit den zitaten arrogant rübergekommen ist entschuldige ich mich. dass war sicher keine absicht. ich wollte eigentlich diese ganze diskussion von wegen wie komme ich zur vollständigkeit bzw. was ist vollständigkeit, in der das thema dann ausgeartet ist, nie führen und deshalb das ganze schnell abwickeln, was dann wohl offensichtlich doch nicht funktioniert hat... @dual space: find ich interessant.du wirfst mir arroganz vor und liest nicht einmal das thema durch. denn dann hättest du auch meine frage mitbekommen, und so nebenbei habe ich orakel nie nicht geglaubt. zu meiner frage. bitte lassen wir jetzt die diskussion denn euch ist allen klar was unvollständigkeit bedeutet, und was mich betrifft danke aber lasst es meine sorge sein. ich wollte seit dem ersten beitrag nur wissen was man darauf aufbauen kann (auf der vollständigkeit), was es einem bringt in einem vollständigen raum zu arbeiten, was kann man in dem raum machen was man in einem nicht vollständigen raum nicht machen kann??? |
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| 03.06.2007, 00:39 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Diskussion, die ihr geführt habt, ist aber nun mal der Kernpunkt, warum vollständige Räume nützlich sind, und gerade deswegen ist erstmal das absolut exakte Verständnis des Begriffs wichtig. Man kann halt unter der Voraussetzung der Vollständigkeit in Beweisen gerade so schließen, dass man sich eine bestimmte Folge wählt, zeigt dass diese eine Cauchyfolge ist (was meistens relativ einfach ist), und dann daraus die Existenz eines Grenzwerts im gegebenen Raum folgert (was anders u.U. verdammt schwer ist bzw. gar nicht gilt). Dadurch hat man ein zusätzliches Objekt gewonnen, mit dem man arbeiten kann. So gut wie jedes spezielle Beispiel für die Wichtigkeit vollständiger Räume läßt sich darauf zurückführen, daß in irgendeinem Beweis eines Satz dieses Prinzip verwendet wird. Hier nur ein Beispiel ganz kurz skizziert: Der Fixpunktsatz von Banach gilt zum Beispiel nur in vollständigen Räumen, und wird dort auch genau mit dem beschriebenen Prinzip bewiesen. Und ohne diesen Fixpunktsatz wirst du dich zum Beispiel schwer tun, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu beweisen (das ist der Satz von Picard-Lindelöf). Dasselbe gilt für den Satz von der inversen Funktion oder den Satz von der impliziten Funktion und ähnliche Auflösungssätze, die ebenfalls mit dem Banachschen Fixpunktsatz bewiesen werden. Ganz grob gesagt gilt ohne Vollständigkeit in der Analysis eigentlich so gut wie gar nix von dem, was man gerne hätte. (ok, das ist ne sehr provokative Aussage, über die man sich streiten kann) |
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| 03.06.2007, 18:27 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich frag mich nur, wie du das beurteilen willst. |
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