Existenz einer Verteilungsfunktion

02.06.2007, 14:04

Sunwater

Existenz einer Verteilungsfunktion

Hi...

ich soll zeigen, dass es eine Verteilungsfunktion F gibt, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 \text{ für }, 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre jetzt folgende:

$\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 \cdot 1_{[0,1]}(x) + 1\cdot 1_{(1,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

dann gilt für diese Funktion, dass sie monoton steigend ist, rechtsseitig stetig und:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} F(x) = 0, \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$

diese drei Eigenschaften reichen doch aus, damit es eine Verteilungsfunktion ist oder?

Jetzt soll ich noch zeigen, dass F eine Dichte hat und diese berechnen.

Dazu bilde ich die Ableitung - aber bei der weiß ich nicht, ob die so stimmt...

$\begin{eqnarray*} F'(x) = 2x \cdot 1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray*}$

richtig so?

denn dann ist F stetig und bis auf den Punkt 1 auch stetig differenzierbar und somit hat F eine Dichte, die genau durch F' gegeben wird.

02.06.2007, 14:10

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Zitat:

Original von Sunwater
Meine Idee wäre jetzt folgende:

$\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 \cdot 1_{[0,1]}(x) + 1\cdot 1_{(1,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

dann gilt für diese Funktion, dass sie monoton steigend ist, rechtsseitig stetig und:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} F(x) = 0, \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$

diese drei Eigenschaften reichen doch aus, damit es eine Verteilungsfunktion ist oder?

Ja, das reicht. Das $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ hier ist ja sogar stetig, was für das folgende ja auch notwendig ist:

Zitat:

Original von Sunwater
$\begin{eqnarray*} F'(x) = 2x \cdot 1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray*}$

richtig so?

Ja, stimmt. Die Ableitung muss nicht überall definiert sein - wichtig ist nur, dass für die Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Beziehung

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

gilt. Die Dichte ist nicht eindeutig, so ist z.B. auch die am Punkt $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ von deiner Funktion abweichende Funktion

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(x) = 2x \cdot 1_{[0,1)}(x) \end{eqnarray*}$

auch eine Dichte zu $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

02.06.2007, 15:06

Sunwater

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ja stimmt - war unglücklich formuliert... eine Dichte wird durch F'(x) gegeben... - man kann aber auch endlich viele Punkte abändern.

danke

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