Definition einer linearen Abbildung

02.06.2007, 14:15

MrMilk

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Definition einer linearen Abbildung

Hallo,

bevor ich weiter in dem anderen Post wie wild schreibe, ohne das es irgend einen Sinn ergibt, würde ich gerne einmal über lineare Abbildungen sprechen.

Zu diesem Thmena habe ich folgende Definition:

Zitat:

Es seinen V und W Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (oder allgemeiner über einem Körper K).
Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ heißt linear, wenn gilt:
L1: $\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \in V \end{eqnarray*}$
L2: $\begin{eqnarray*} f(a\cdot v)=a\cdot f(v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ )

Kann mir jemand sagen, ob nun gelten muss:

$\begin{eqnarray*} f(v_1)\in W, a\cdot f(v)\in W \end{eqnarray*}$ bzw. auch Element V.

Dazu habe ich folgende Anschauung einmal erstellt(ich weiß sehr kindisch, aber vielleicht kann ich so darstellen, was ich meine...)

http://s3.bilder-hosting.de/tbnl/NZGT2.jpg

Das grüne wäre das f, was von einem VR in den anderen VR abbildet. In diesem Fall von V nach W.

Stimmt dieses so, aber habe ich im Augenblick noch eine total falsche Vorstellung?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 14:17

therisen

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Natürlich muss $\begin{eqnarray*} f(V)\subseteq W \end{eqnarray*}$ gelten Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.06.2007, 14:21

MrMilk

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Okay, das finde ich gut.

So nun habe ich aber ein weiteres Problem. Angenommen ich habe V mit einer Dimension von 12, die Zahl ist rein effektiv und ich möchte es in einen W mit der Dimension von 5 Abbilden, kann ich dann überhaupt jedes Element von V nach W darstellen?

Vermutlich nein, oder?
Also könnte man sagen, dass folgedes gelten muss $\begin{eqnarray*} Dim(V) \le Dim(W) \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 14:23

tigerbine

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Doch das geht. Denke nur mal an den Extremfall der Nullabbildung.

02.06.2007, 14:26

MrMilk

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Hallo tigerbine,

hatte ich dann aber nicht einen Informationsverlust?
Beispiel ich möchte von dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ abbilden. Wo könnte ich dann die Tiefe unterbringen?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 14:28

tigerbine

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W steht denn in der Definition, dassd die Abbildung bijektiv sein soll? Nirgends.

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02.06.2007, 14:32

MrMilk

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Hallo tigerbine,

ich dachte so etwas wäre eine Eigenschaft die nach Möglichkeit vorhanden sein sollte.

Also wäre folgende lineare Abbildung in ordnung:

$\begin{eqnarray*} f: {x\to x, y+z\to y} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
MrMilk

02.06.2007, 14:38

therisen

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Das ist keine Abbildung. Von wo nach wo soll die Abbildung denn gehen?

02.06.2007, 14:39

tigerbine

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Zitat:

Original von MrMilk
Hallo tigerbine,

ich dachte so etwas wäre eine Eigenschaft die nach Möglichkeit vorhanden sein sollte.

Ist aber nicht so.

Deine Abbildungsvorschrift verstehe ich nicht. geschockt

geschockt

02.06.2007, 14:40

Tobias

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Geht es um lineare Funktionen oder um deine Idealvorstellungen von Funktionen?

Lineare Funktionen erfüllen schlicht die Definition. Und das tut (wie bereits erwähnt) sogar die Nullabbildung f = 0.

02.06.2007, 14:49

MrMilk

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Hallo,

Sei einen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun möchte ich eine Abbildung wie folgt erreichen: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3 \in \mathbb R ^3 f(v):= \{\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2\end{pmatrix}\Biggm|x_2=x_3, y_2=y_3 + z_3 \} \end{eqnarray*}$

Wäre diese so in Ordnung?

@tigerbine: Du meintest mit Nullabbildung, dass alles auf die Null abgebildet wird, korrekt?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 14:52

tigerbine

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Ja, jedes Element aus V wird auf die Null von W abgebildet.

Prüfe doch die geforderten Eigenschaften, dass siehst Du ob es geht oder nicht.

02.06.2007, 15:18

MrMilk

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Hallo tigerbine,

ich habe es einmal versucht nachzurechnen:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\\ v_2=\begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}\\f(v_1)+f(v_2)=\begin{pmatrix} a \\ b+c \\ \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} d \ e+f \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+d \\ b+c+e+f \\ \end{pmatrix}\\f(v_1+v_2)= f \Biggl( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} \Biggr) = f \Biggl( \begin{pmatrix} +d \\ b+e \\ c+f \end{pmatrix} \Biggr) = \begin{pmatrix} a+d \\ b+e+c+f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meines erachtens ist damit gezeigt, dass L1 gilt.
Für L2 würde ich dieses analog machen.
Also bin ich zu der Überzeugung gekommen, dass es eine lineare Abbildung ist.

Kannst du mir da recht geben?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 15:45

tigerbine

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Wie viele Buchstaben willst Du denn noch nehmen? Seien u und v aus V.

$\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix}, v = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann sehen die Bilder gemäßt deiner Abbildung wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f(u)=\begin{pmatrix}u_1\\u_2 + u_3 \end{pmatrix}, f(v) = \begin{pmatrix} v_1\\v_2+ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun checkst Du eben die Axiome:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}0 \\ 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u+v) = \begin{pmatrix}u_1+v_1\\(u_2 + v_2) + (u_3+v_3) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_1+v_1\\(u_2 + u_3) + (v_2+v_3) \end{pmatrix} =f(u)+f(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a\cdot u) = \begin{pmatrix}a\cdot u_1\\ a\cdot u_2 + a\cdot u_3 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 + u_3 \end{pmatrix} = a\cdot f(u) \end{eqnarray*}$

Und warum klappt das alles? Weil die Einträge aus einem Körper stammen.

02.06.2007, 16:31

MrMilk

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Okay,
nun kann ich auf die Frage kommen auf die ich die ganze Zeit abziele.

Angenommen ich habe nun eine lineare Abildung von einem $\begin{eqnarray*} W:\mathbb R^3 \to V:\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und diese bezeichnen wir wieder als $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Darf es sein, dass das Bild von f nicht die Dimension wie W und V hat?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 16:35

tigerbine

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Da denkst du jetzt mal selbst drüber nach. Die Antwort steht schon hier im Thread. Zielraum und Bildraum sind etwas anderes und doch hängen sie zusammen. Wie, dass musst Du eben einmal raus finden. Oder Du beschäftigst Dich einmal mit den Definitionen

02.06.2007, 21:41

MrMilk

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Hallo tigerbine,

ich habe mir das einmal zu Gemüte geführt.
Angenommen die Funktion f hat die Dimension 2, so kann ich dieses wie folgt ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} Dim(V) &=& dim Kern(f) + dim Im(f)\\\Leftrightarrow 3&=&0+3 \end{eqnarray*}$
Kann ich nun sagen, dass auch die Funktion f eine Dimension von drei haben muss, das der Bildbereich 3 beträgt?

Viele Grüße
-- MrMilk

02.06.2007, 21:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
Angenommen die Funktion f hat die Dimension 2

Klasse. So eine Funktion will ich auch mal haben...

02.06.2007, 21:55

MrMilk

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entschuldiung, ich meinte 3.

Ist es nun korrekt?

Viele Grüße
MrMilk

02.06.2007, 22:01

therisen

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Nein, eine Funktion hat keine Dimension!

02.06.2007, 22:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Nein, eine Funktion hat keine Dimension!

Schade. Und ich dachte schon, ich bekomme sowas zu Weihnachten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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