Problem beim Lösen einer inhomogenen Dgl (im Resonanzfall)

02.06.2007, 15:32	lapmon	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem beim Lösen einer inhomogenen Dgl (im Resonanzfall) Hallo, es geht um folgende Dgl. : y''''+ (1/3)y''' = 40x² + 400 Nun, da die rechte Seite (40x²+400) bereits Lösung der homogenen Dgl. ist, handelt es sich hierbei ja um den Resonanzfall. Für diesen Fall haben wir in der Vorlesung einen Satz erhalten, der sagt, dass wir die einzelnen Teile der Störfunktion mit der Form Ae^(bx) vergleichen sollen, und so, je nachdem ob b einfache-, zweifache-, dreifache-, ... Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, einen bestimmten Lösungsansatz erhalten. Bei der 400 war das kein Problem, ich habe den Ansatz 200x³ ermittelt, indem ich für b einfach 0 angenomen habe und A=400 setzte. Aber wie soll ich 40x² mit der Form Ae^(bx) in Verbindung bringen, da komme ich nicht weiter. Wäre toll wenn jemand einen guten Tipp für mich auf Lager hätte. PS: Sollte ich vielleicht die Aufgabe anders angehen und einfach mal beide Seiten solange integrieren bis ich eine Dgl erster Ordnung erhalte? Ist vielleicht einfacherer...
02.06.2007, 17:24	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es geht also um die DGL $\begin{eqnarray} y^{(4)}+\frac13y^{(3)}=40x^2+400 \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} q(x) := (400+40x^2)\cdot\mathrm{e}^{0x} \end{eqnarray}$ Bezeichnet $\begin{eqnarray} P(X) \end{eqnarray}$ das charakteristische Polynom der homogenen DGL, dann ist $\begin{eqnarray} P(0)=0 \end{eqnarray}$ , also insgesamt eine 3-fache Nullstelle. Mache daher den Ansatz $\begin{eqnarray} y_p(x)=(c_0+c_1x+c_2x^2)x^3 \end{eqnarray}$ und bestimme $\begin{eqnarray} c_0,c_1,c_2 \end{eqnarray}$ durch Koeffizientenvergleich. Das führt zu einer Lösung Gruß, therisen

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