Frage zu Extremwertaufgabe

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02.06.2007, 16:25	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Extremwertaufgabe Hallo Leute! Ich komm patu nicht bei einer Aufgabe weiter ... es ist total seltsam, die Kurvendiskussion konnte ich im Schlaf, aber bei den Extremwertaufgaben häng ich einfach an jeder Aufgabe. Nun muss ich folgende lösen : Eine 400 Meter lange Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen. Für welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal? Hier eine Skizze dazu ... http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads3/1842_Laufbahn.gif Im Internet wird diese Aufgabe schon oft besprochen und ich habe auch ein paar andere Foren gefunden, in denen diese Aufgabe erklärt wird, aber nichts hilft mir . Und ich sitz echt schon lange drann. Ich glaube ich brauch eher so "schrittweise" Hilfe. Ich kann diese ganzen Gedanken zu der Aufgabe nicht mal richtig ordnen (hab auch nur sehr wenig Übung in dem Thema, und will das jetzt nachholen). Würde mich über Hilfe sehr bedanken.
02.06.2007, 16:35	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Extremwertaufgabe zunächst einmal musst du dir eine gleichung für den flächeninhalt A der spielfläche herleiten, die als einzige variable den radius r der beiden halbkreise enthält. ein erster ansatz liefert $\begin{eqnarray} A=x\cdot 2r \end{eqnarray}$ nun muss man noch das x durch das r ausdrücken. das geschieht mit hilfe der länge der laufbahn: $\begin{eqnarray} 400=2x+2\pi r \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} x=200-\pi r \end{eqnarray}$ dann erhälst du $\begin{eqnarray} A(r)=(200-\pi r)\cdot 2r \end{eqnarray}$ nun wie gehabt, ableiten null setzen usw...
02.06.2007, 16:55	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die rasche Antwort ! Leider geht mir die Erklärung schon zu schnell. Die Skizze in meinem Buch ist "etwas" anders, vielleicht verwirrt mich das auch noch zusätzlich. Hier mal die Skizze : http://img64.imageshack.us/img64/4404/skizzeunopa1.png Genauso ist sie auch im Buch, außer diesem grünen Pfeil. Das gehört nämlich zu meiner Frage. Das was ich mit grün "makiert" habe, ist das auch gleich x ? Und wo kommt das Pi ins Spiel ? Also, ich versuch das mal schrittweise zu erläutern, was ich verstanden habe. Man fängt ja immer mit der Hauptbedingung an (das, was gesucht wird). Die Spielfläche soll maximal werden, also der Flächeninhalt. Die Formel für den Flächeninhalt lautet : $\begin{eqnarray} A=ab \end{eqnarray}$ So, wenn man diese Formel auf das Beispiel überträgt, formt man das so um: HB : $\begin{eqnarray} A=2x\cdot y \end{eqnarray}$ Ist das bis jetzt schonmal richtig? Und jetzt kommt mein richtiges Problem. Als Nebenbedingung muss man jetzt irgendwie die 400 meter der Laufbahn einbringen. Das ist bekanntlich der Umfang, aber von was? Das ist doch an sich ein Kreis, oder ? Umfänge von Kriesen ist diese Formel : $\begin{eqnarray} u=2\cdot \pi \cdot r \end{eqnarray*}$ Das ist die Nebenbedingung. Wie man die Formel auf die Aufgabe überträgt verstehe ich nicht ....
02.06.2007, 16:59	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
aber die skizze von dir und die in dem buch unterscheidet sich schon grundlegend, nicht wahr? ich meine, soll die laufbahm nun klassisch sein, wie in einem stadion (also wie in deiner 1. skizze) oder ellipsenförmig, wie in der skizze aus dem buch? und ich erkenne auch keine halbkreise mehr!!!!
02.06.2007, 17:07	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein soll eher klassich sein, also wie die 1. Skizze. Hab die 2. Skizze nur wegen der Beschriftung reingestellt. Hab leider in Paint keine andere "Form" gefunden, als Ellipse, sry :/
02.06.2007, 17:17	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn das an den beiden spielfeldenden halbkreise sein sollen, dann ist die länge (dargestellt durch den grünen pfeil) gleich r, also der radius des kreises. ich denke x ist die länge einer der geraden? oder hab ich das aus der skizze falsch verstanden?
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02.06.2007, 17:26	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein x ist die Länge, der Hälfte der Gerade. Ich weiß ich habe dich verwirrt durch die 1.Skizze, sry . Die 2. Skizze stimmt aber jetzt so. Also x = Hälfte der Länge der Gerade. Mehr ist auch nicht in der Skizze eingezeichnet. Von Radius steht da nix ... aber ergibt ja eigentlich Sinn das das "grüne Stück" der Radius ist, da man einen Halbkreis hat. Gelten da auch die gleichen Formeln wie bei einem normalen Kreis? Und was sagst du zu meinem Ansatz ?
02.06.2007, 17:29	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
der radius r des halbkreises ist natürlich der gleiche, wie beim vollkreis. also bzgl dem x habe ich noch probleme. also im stadion gibt es zwei 100m geraden und zwei halbreise, jeweils von der länge 100m. bezeichnet x dann eine 100m gerade oder ist x=100m/2=50 m???
02.06.2007, 17:45	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß jetzt nicht wie du auf 100 m geraden kommst :/ ... Ich zeichne die Skizze mal neu ... hab sie als Datei angehängt. So steht sie in meinem Buch. Also ist x nicht die Länge einer gesamten Gerade, sondern die Hälfte der Gerade.
02.06.2007, 17:56	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich verstehe jetzt. dann ist x der radius des kreises. du sollst den radius x bestimmen, bei dem der flächeninhalt A der rechteckigen spielfläche maximal wird. $\begin{eqnarray} A=2x\cdot y \end{eqnarray}$ wobei y die andere seite des rechteckes ist. jetzt kannst du (wie in meinem ersten post) y in abhängigkeit von x darstellen, denn es gilt $\begin{eqnarray} 400=2y+2\pi x \end{eqnarray}$ jetzt kannst du nach y auflösen und in die gleichung für A einsetzen. dann erhälst du $\begin{eqnarray} A(x)=(200-\pi x)\cdot 2x \end{eqnarray}$ ist das so verständlich?
02.06.2007, 18:01	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Ab der 2.Gleichung verstehe ich es schon nicht ganz ... Aaalso... es geht um den Umfang der Laufbahn der 400 Meter ist . Kann man diese Laufbahn wirklich als Kreis behandeln ? Das hat mich nämlcih verwirrt, den die Form des der Laufbahn ist kreisähnlich, aber kein richtiger Kreis ... Gut, ich nehme mal an man behandelt die Laufbahn als Kreis. Der Umfang eines Kreises wird durch diese Formel darchgestellt: $\begin{eqnarray} u=2 \cdot \pi \cdot r \end{eqnarray}$ Wenn man das nun auf die Aufgabe überträgt, wird aus r=2x. Aber warum muss man noch wie du gesagt hast +2y rechnen ?
02.06.2007, 18:07	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Du behandelst die Laufbahn nicht als Kreis. Du behandelst sie als 2der umfang vom halbkreis + 2die Strecke y... Und das ist kein Kreis :P
02.06.2007, 18:16	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah ok ich glaube ich verstehe langsam ... aber Gegenfrage. Die Formel für den Umfang eines Halbkreises ? ... Wie bekommt man das denn heraus oder wie kann man sich das in dem Beispiel herleiten. 2x ist schonmal klar, dann hat man die Gerade, aber was macht man mit dem "oberen Stückchen"
02.06.2007, 18:22	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
na der umfang eines vollkreises ist $\begin{eqnarray} u=2\pi r \end{eqnarray}$ . daher ist der umfang eines halbkreises $\begin{eqnarray} u=\pi r \end{eqnarray}$ .
02.06.2007, 18:30	Baldessarini	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaah stimmt! Ist ja alles ganz logisch eigentlich ... ok den Rest verstehe ich dann schon von alleine Also Orakel, vielen vielen vielen Dank für deine Geduld und deine Erklärung! Du hast mir nicht nur bei der Aufgabe geholfen, sondern allgemein finde ich hab das Theme Extremwertprobleme besser verstanden. Vielen Dank

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