Partielle Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz |
| 04.01.2004, 20:34 | Beutlin | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Partielle Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz wer kann mir in der folgenden Aufgabenlösung einen Schritt erklären, der mir nicht ganz verständlich erscheint? 
Es geht um eine Funktion f: IRn --> IR auf einer offenen Kugel U um den Punkt a aus IRn, die partiell differenzierbar ist. Sei h=(h1 ,h2 ,...,hn ) mit (a+h) in U. Ferner sei ai := a + Summe(1 bis i) hi* ei , wobei ei der i-te Einheitsvektor ist. a0 sei gleich a. Alle ai sind dann ebenfalls in U. Es existiert also für alle i eine Abbildung fi :[0;1]-->IR mit fi (t) = f (a(i-1) + t*hi*ei). Da f partiell differenzierbar ist, ist fi diffbar in t und es gilt: fi '(t) = Di f(a(i-1)+t*hi*ei). Dem eindimensionalen Mittelwertsatz zufolge existiert somit ein si in [0;1], so dass gilt: fi '(si )*hi = fi (1) - fi (0). Dies ist der Punkt, den ich nicht ganz verstehe. Woher kommt in dieser letzten Zeile die Multiplikation mit hi vor dem Gleichheitszeichen? Nach dem Mittelwertsatz gilt die Gleichung doch erst mal ohne diesen Faktor, oder? Oder wurde hier irgendwo die Kettenregel angewandt? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Die komplette Aufgabe findet sich übrigens unter http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/.../Vorlesung.html ,Musterlösung zu Blatt 6, Aufgabe 21, es geht darum, aus der Beschränktheit der partiellen Ableitungen die Stetigkeit von f herzuleiten. Vielen Dank für jede Hilfe im voraus! Anmerkung: Bei sämtlichen i-s und den Klammern (i-1) handelt es sich um Indizes, nicht um die imaginäre Einheit oder eine Variable. |
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| 26.04.2005, 00:11 | neja | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Ich denke du solltest dir einfach nur klar machen das du annimmsst das gilt: f(x0+x)= f(x0) + x f'(si) |
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