Teilbarkeit von Idealen

02.06.2007, 23:32	frutti	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit von Idealen Hallo zusammen, mal eine Frage zu Idealen: $\begin{eqnarray} a, b, c \end{eqnarray}$ sind Ideale es gilt: $\begin{eqnarray} c\|a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\|b \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} c\|a+b \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a\|c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\|c \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ geschnitten $\begin{eqnarray} b\|c \end{eqnarray}$ warum folgt daraus, dass $\begin{eqnarray} a+b \end{eqnarray}$ ggT von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ geschnitten $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ = kgV von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ sind?
03.06.2007, 16:52	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo frutti, die Implikation $\begin{eqnarray} (c\|a ~\wedge~ c\|b) \Rightarrow c\|(a+b) \end{eqnarray}$ ist immer erfüllt (das ist eine Voraussetzung für den ggT). Es ist also die Rückrichtung, die die Behauptung ermöglicht. Wegen $\begin{eqnarray} (a+b)\|(a+b) \end{eqnarray}$ folgt nach Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} (a+b)\|a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a+b)\|b \end{eqnarray}$ . Nach der idealtheoretischen Charakterisierung des ggT (d.h. nach Definition) folgt damit, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a,b)=a+b \end{eqnarray}$ . Analog für das kgV. Gruß, therisen

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