Winkelhalbierende in den verschiedenen Ebenen

03.06.2007, 14:03

Madita

Winkelhalbierende in den verschiedenen Ebenen

Hallo

Auch ich benötige Rat bzw. Tipps, um die bei mir vorhandenen Unsicherheiten zu beseitigen.
Im Prinzip habe ich mehrere Fragen, wollte das Thema jedoch nicht zu allgemein formulieren, daher der Bezug zu einer speziellen Frage.
Gut, nun zu meinen Problemen.

1. Wenn die Aufgabenstellung lautet: "Zeige, dass die beiden Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben!"
Ist es dann richtig, wenn ich zuerst überprüfe, ob sie parallel sind und anschließend, ob sie identisch sind? Müsste ja eigentlich stimmen, denn, wenn sie identisch sind, müssten sie ja dieselbe Gerade beschrieben, oder?

2. Folgende Aufgabenstellung: Ermittle Parametergleichungen für die Geraden, die durch den Punkt P (-1/5/2,5) gehen und parallel sind
a) zur x-Achse (y-Achse; z-Achse)
b) zu den beiden Winkelhalbierenden in der x-y-Ebene (x-z-Ebene; y-z-Ebene)!

zu a) Reicht es zu, wenn ich für die x-Achse folgendes schreibe?:
g1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2,5 \end{pmatrix} +r* \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
g2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2,5 \end{pmatrix} +r* \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wären sie ja parallel, da der eine Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist...
Bei y-Achse dann eben x und z 0, bei der z-Achse x und y.

zu b) Hier weiß ich nicht wirklich, was ich tun soll...nur, dass ich halt jeweils die 3. Ebene nicht berücksichtigen brauche, die Koordinate dementsprechend 0 sein müsste. Aber ansonsten bin ich etwas ratlos...

3. Ermittle zum Viereck ABCD
a) die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD und DA und
b) die Parametergleichungen der Geraden, die durch die Mittelpunkte benachbarter Seiten gehen! Welche Form hat das von den vier Geraden eingeschlossene Viereck?

A (5/1/-3) B (1/5/7) C (-1/3/1) D (-3/-5/7)

zu a) Die Mittelpunkte bekomme ich doch durch folgende Formel:
x1+x2/2;y1+y2/2;z1+z2/2

Für die Seite AB dürfte der Mittelpunkt bei MP (3/3/2) liegen. (Laut meiner Zeichnung dürfte das auch stimmen)

zu b) Hier weiß ich gar nicht, was von mir gefordert wird. Also, welche Koordinaten ich brauche und an welcher Stelle sie stehen müssen.... verwirrt

Nun gut, damit verbleibe ich zunächst.
Schon einmal vielen Dank im Voraus für eure Mühe!
Liebe Grüße,
Madita.

03.06.2007, 14:18

Rotationskörper

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Zur Aufgabe 3:
Deine Lösung 3a ist richtig.
Zu 3b) Nachdem du den Mittelpunkt von AB hast ermittle doch dann den Mittelpunkt von BC.
Diese beiden Mittelpunkte sind zwei Punkte von einer der vier gesuchten Geradengleichungen.
Rechne dann analog über alle vier Seiten weiter.

Zu 3b) Teil 2:
Ich habe es noch nicht ausgerechnet, würde mir aber die Schnittwinkel dieser 4 neuen Geraden gebauer anschauen. (Rechteck oder sogar Quadrat?)

Zu 1:
Richtig:

Zu 2a:
Überlege, wie die Richtunkgsvektoren der 3 Achsen aussehen. Dann hast du auch die Richtungsvektoren der Geraden.

Zu 2b:
Auch hier kommt es auf die Richtungsvektoren an.
Überleg mal wie du die Richtungen der Winkelhalbierenden kommst.
Hinweis: Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und teilen die Innenwinkel.

03.06.2007, 15:11

Madita

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zu 3a/b)
Die weiteren Mittelpunkte hatte ich schon berechnet.
MP BC(0/4/4)
MP CD(-2/-1/4)
MP DA (1/-2/2)
Wenn ich die Gleichung dann einfach mittels der 2-Punkte-Form, erhalte ich für die Kombination der Seiten AB;BC folgendes:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Für BC/CD:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Für CD/DA:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Für DA/AB:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 2a)
Muss ich denn überhaupt für jede Achse jeweils 2 Gerade angeben oder reicht eine? (Die Formulierung ist etwas uneindeutig...)
Irgendwie weiß ich immernoch nicht genau, welchen Einfluss der Richtungsvektor jetzt haben muss. Ich hätte einfach für die x-Achse die y und z-Koordinate 0 gelassen und x beliebig gewählt...aber eigentlich muss die y-Koordinate nicht unbedingt 0 sein, oder?
Oder muss ich den gegebenen Punkt dahingehend mit einbeziehen, dass dadurch die jeweiligen Koordinaten 0 werden?
Im Prinzip komme ich hier nicht weiter...

zu 2b)
Siehe 2a)...ich komme nicht auf den Anfang. Wenn ich erstmal wüsste, wie diese Teilaufgabe erledigen soll, hätte ich vielleicht hier auch einen Anhaltspunkt, aber momentan tappe ich noch im Dunkeln.

03.06.2007, 15:31

Rotationskörper

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Zu 2a)
Ich glaube, du bist auf dem richtigen Weg.
Überleg mal, vom Ursprung (Punkt (0/0/0)) ausgehend, welchen Richtungsvektor z.B. die x-Achse hat. Da brauchst du auch keine 2, 5 oder 658 nehmen. Nimm doch die einfachste Variante - die 1.
Für diese Teilaufgabe benötigst du nur eine Geradengleichung.

Zu 2b)
Überlegs dir erst mal 2-dimensional. Wenn sich 2 Geraden schneiden, enstehen 2 unterschiedliche Winkel (Nebenwinkel, die sich auf 180° ergänzen). Jeder dieser Winkel hat eine Winkelhalbierende (eine Richtung). Wie diese Winkelhalbierenden zueinander stehen weißt du sicherlich.
Versuch mal das analog auf das Dreidimensionale zu übertragen.

03.06.2007, 17:03

Madita

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Nochmal von vorn:
Parallel zur x-Achse...der Richtungsvektor sollte demnach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Kann ich die Geradengleichung dann so formulieren?:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die y- bzw. z-Achse dann dementsprechend als Richtungsvektor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu b)
Hier verzweifle ich langsam...
Ich würde es im Prinzip so wie bei a ansetzen...
Für die x-y-Ebene:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die anderen dann analog...
Aber sollte das schon alles sein?

03.06.2007, 19:09

Madita

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Falls das im vorherigen Beitrag Berechnete richtig sein sollte, habe ich nur eine Frage zu 3b). Laut meiner Zeichnung sollte es sich um ein Rechteck handeln, aber ich weiß nicht, ob diese Begründung genügt. Wie kann ich das anhand der ermittelten Werte begründen?

03.06.2007, 22:52

riwe

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Zitat:

Original von Madita
Falls das im vorherigen Beitrag Berechnete richtig sein sollte, habe ich nur eine Frage zu 3b). Laut meiner Zeichnung sollte es sich um ein Rechteck handeln, aber ich weiß nicht, ob diese Begründung genügt. Wie kann ich das anhand der ermittelten Werte begründen?

nein das genügt für uns normale sterbliche, aber mathematisch geschockt

und deine zeichnung trügt,
soweit ich weiß, ist das immer ein
PARALLELOGRAMM
dazu zeigst du, dass
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{M_{AB}M_{BC}}=\pm\overrightarrow{M_{CD}M_{DA}} \end{eqnarray*}$

und um zu prüfen, ob es sich um ein rechteck handelt, mußt du noch über das skalarprodukt von 2 seiten prüfen, ob sie senkrecht aufeinand stehen, was nicht der fall ist.

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