Bestimmung von Ziffern einer Zahl

03.06.2007, 18:48

Bestimmung von Ziffern einer Zahl

Hi

AUfgabe: Man bestimme die erste Stelle vor und hinter dem Komma der (riesigen) Dezimalzahl der Formel:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2006} \end{eqnarray*}$

Wie geht sowas? Wie muss man da vorgehen?

04.06.2007, 11:49

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

Die Lösung dieser Aufgabe würde mich ebenfalls interessieren. smile

Meiner Meinung nach riecht die Aufgabe stark nach binomischem Lehrsatz.
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2006} = \sum_{k=0}^{2006} {2006 \choose k} \sqrt{5}^{2006-k} \sqrt{2}^k \end{eqnarray*}$

Diese Summe lässt sich aufteilen in gerade und ungerade Exponenten, denn wenn k gerade ist, dann auch (2006-k):
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2006} {2006 \choose k} \sqrt{5}^{2006-k} \sqrt{2}^k = \sum_{k=0}^{1003} {2006 \choose 2k} \sqrt{5}^{2006-2k} \sqrt{2}^{2k} + \sum_{k=0}^{1002} {2006 \choose 2k+1} \sqrt{5}^{2006-(2k+1)} \sqrt{2}^{2k+1} \end{eqnarray*}$

Der erste Summand ist eine natürliche Zahl und hat die Einerziffer 3.
Begründung:
Ist k=0, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{2k}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{5}^{2006-2k} \end{eqnarray*}$ eine Zahl, die auf die Einerziffer 5 endet.
Ist k=1003, so gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{5}^{2006-2k}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^{2k} \end{eqnarray*}$ endet auf die Einerziffer 8.
Für alle Werte für k zwischen 0 und 1003 ergibt sich ein Produkt aus einer 5er und einer 2er Potenz. Das Produkt hat also die Einerziffer 0.
Summiert man alle Einerziffern, hat man 5+0+0+...+0+8=13. Die Einerziffer ist also 3.

Die gesuchten Ziffern des zweiten Summanden zu finden, ist mir bisher noch nicht gelungen. verwirrt

Zitat:

Original von PG
Wie geht sowas? Wie muss man da vorgehen?

Ich denke, das hängt unter anderem davon ab, wie die Zahl dargestellt wird.

04.06.2007, 13:55

Auf diesen Beitrag antworten »

Focus -Matheaufgaben

04.06.2007, 17:33

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Oha

Bin begeistert, wie schön du diese Aufgabe erledigt hast smile

Aber schade, dass dein vorheriger Post nicht mehr existiert. Denn, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, dann herrscht zwischen deinem gelöschten Beitrag und dem Link eine kleine Unstimmigkeit, die ich mir noch angeschaut hätte.
Bei deinem Post war $\begin{eqnarray*} a_{1003} \equiv 6 \pmod {10} \end{eqnarray*}$ , während beim verlinkten Beitrag

$\begin{eqnarray*} a_{1003}=(7+2\sqrt{10})^{1003}+(7-2\sqrt{10})^{1003}=(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2006}+(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2006} = 2 \sum _{k=0}^{1003} {2006 \choose 2k} 5^{1003-k}~2^k \equiv 4 \pmod {10} \end{eqnarray*}$ ist.

04.06.2007, 17:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es kommt beides mal 6 raus. Aber wenn du willst, ich hab den Beitrag aufgehoben - ich hatte nur zu spät gemerkt, dass alles schon mal da war:

---------------------

Neben $\begin{eqnarray*} x_n = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2n} = (7+2\sqrt{10})^n \end{eqnarray*}$ würde ich noch $\begin{eqnarray*} y_n = (7-2\sqrt{10})^n \end{eqnarray*}$ betrachten

Für die Summe $\begin{eqnarray*} a_n=x_n+y_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_0=2,a_1=14 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} a_n = 14a_{n-1}-9a_{n-2}\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

(Beweis über VI), also sind alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ganzzahlig, insbesondere auch $\begin{eqnarray*} a_{1003} \end{eqnarray*}$ . Weiter kann man wegen $\begin{eqnarray*} 0<7-2\sqrt{10}< 0.7 \end{eqnarray*}$ leicht abschätzen $\begin{eqnarray*} 0 < y_{1003} < 0.7^{1003} < 0.1 \end{eqnarray*}$ , womit die erste Nachkommastelle von $\begin{eqnarray*} x_{1003} = a_{1003} - y_{1003} \end{eqnarray*}$ klar sein dürfte.

Nun zur ersten Stelle vor dem Komma: Da schauen wir uns (*) mal modulo 10 an: $\begin{eqnarray*} a_n\equiv 4a_{n-1}+a_{n-2}\mod 10 \end{eqnarray*}$

Das ergibt, beginnend bei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ , folgende Reste:

2, 4, 8, 6, 2, 4, ...

Man erkennt deutlich Periode 4, d.h., es gilt $\begin{eqnarray*} a_n\equiv a_{n-4}\mod 10 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a_{1003}\equiv a_3\equiv 6\mod 10 \end{eqnarray*}$ . Inwiefern nun die letzte Ziffer der ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} a_{1003} \end{eqnarray*}$ mit der Stelle vor dem Komma der Zahl $\begin{eqnarray*} x_{1003} \end{eqnarray*}$ zusammenhängt, sollte nach den oben stehenden Überlegungen klar sein,.

04.06.2007, 17:56

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, hast recht, ist beidesmal kongruent 6. Hat sich ein Denkfehler eingeschlichen, verzeihung. Und danke, dass den Post wieder hervorgeholt hast.

04.06.2007, 17:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Lösung ist leicht anders. Vielleicht komplizierter, aber eher für ähnliche Fälle nutzbar, wenn z.B. statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ steht... Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmung von Ziffern einer Zahl

Verwandte Themen