Abstand von einer Ebene zum Ursprung

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03.06.2007, 18:52	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand von einer Ebene zum Ursprung Hallo, die Aufgabe lautet: Bestimme denjenigen Punkt Q auf der Ebene E, der vom Koordinatenursprung den minimalen abstand hat! $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da kann ich ja einfach die Formel $\begin{eqnarray} p = \mid \vec{v0} \vec{n0} \mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v0} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n0} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ das ausgerechnet, ergibt für p = 1! Aber wie bekomme ich denn nun den Punkt heraus, der den Ursprung so minimal berührt? Wenn ich das mit einer geraden mache, bekomme ich ja auch einen Punkt heraus, den setze ich dann bei lamba ein und bekomme den gesuchten punkt!
03.06.2007, 19:44	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
ach, der minimale abstand beträgt 1! aber wie gehe ich dennd ann an die aufgabe ran?
03.06.2007, 19:48	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest die gemeinsamen Punkte von E und der Einheitskugel bzw. hier besser -sphäre berechnen.
03.06.2007, 20:12	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
versteh ich nicht Was ist eine einheitskugel?
03.06.2007, 21:10	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Kugel, mit Radius 1 um den Ursprung. Du brauchst aber nur die Kugeloberfläche, die Einheitssphäre. Das ist die Menge von Punkten, die vom Ursprung 1 entfernt ist.
03.06.2007, 21:25	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
also wäre das quasi ne sehr lange aufgabe?
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03.06.2007, 21:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach woher denn, vergiss mal die Einkeitskugel, eine Normale durch den Punkt (deren Richtung ist gleich der des Normalvektors der Ebene!) und diese mit der Ebene schneiden, fertig! Übrigens hast du die Ebene unvollständig angegeben, so wie du das aufgeschrieben hast, ist das Nonsense! mY+
03.06.2007, 22:04	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
oh super! dann hab ich das nun raus! danke die eben wäre $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} x = 3 \end{eqnarray}$ geht das mit gerade auch so einfach? also der kürzeste abstand von $\begin{eqnarray} g: \begin{pmatrix}11 \\ -15 \\ 8 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zum ursprung? da bekomme ich das nicht hin!
03.06.2007, 22:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Geraden geht das sehr ähnlich, denke mal darüber nach! Wir legen durch den Ursprung eine .... zur Geraden und schneiden diese mit ...... Fülle bitte den punktierten Raum richtig aus und antworte dann damit! mY+
04.06.2007, 10:58	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir legen durch den Ursprung eine orthogonale zur Geraden und schneiden diese mit ...... hmm? ist denn orthogonale richtig? weil das habe ich mir auch shcon überlegt gehabt, aber bekomme nichts vernünftiges heraus! eine orthogonale gerade zu der geraden durch den ursprung wäre doch: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{s} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ diese dann mit der gerade gleichsetzen und dann müsste man einen schnittpunkt erhalten? aber das klappt nicht! oder ist das mit der orthogonalen sowieso falsch?
04.06.2007, 11:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
vertausche einmal bei dem tip von mythos ebene und gerade aus dem beispiel davor ok
04.06.2007, 13:20	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir legen durch den Ursprung eine Normale (deren Richtung ist gleich der des Normalvektors der Geraden) zur Geraden und schneiden diese mit der Geraden! so?
04.06.2007, 13:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast! Wir legen durch den Ursprung eine Normalebene zu der Geraden und schneiden diese mit der Geraden ... Jetzt klar? mY+
04.06.2007, 14:23	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
und die würde lauten: $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 11\\ -15 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann schneiden! ja?
04.06.2007, 16:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf diese Ebene? Sie soll doch normal zu g stehen und kann daher den Richtungsvektor der Geraden und im Allgemeinen auch den Ortsvektor zum Anfangspunkt der Geraden nicht enthalten! Tipp: Verwende die Normalvektorform (Koordinatenform) der Ebene $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{X} = c \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{A}) = 0 \end{eqnarray}$ mY+
04.06.2007, 16:59	S0K	Auf diesen Beitrag antworten »
und was sind $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{X} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ ist ja: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
04.06.2007, 17:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn du hast doch die Gerade $\begin{eqnarray} g: \vec{X} = \begin{pmatrix}11 \\ -15 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ angegeben! Deren Richtungsvektor und gleichzeitig Normalvektor der Ebene ist $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{X} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist der allgemeine Vektor, der zu jedem Punkt der Ebene hinzeigt, $\begin{eqnarray} \vec{A} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist der Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt (Stützpunkt) der Ebene. Für diesen wirst du wohl den Ortstvektor zum Nullpunkt einsetzen ... mY+

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