Auswerten von Messergebnissen- Extremwertprobleme

03.06.2007, 19:41	Mathemachtdepri	Auf diesen Beitrag antworten »
Auswerten von Messergebnissen- Extremwertprobleme Hallo Leute ! Ich sitze hier gerade ziemlich lange an einer nervigen Aufgabe und komme einfach nicht weiter ... und langsam komm ich in Zeitnot (müde lol) Folgendes : Die Verlängerung einer Feder ist proportional zur angreifenden Kraft. Die Tabelle zeigt Messergebnisse. Um die Gerade zu finden , auf die die Messpunkte am besten "passen", macht man für die Gerade den Ansatz $\begin{eqnarray} f(x)=a \cdot x \end{eqnarray}$ und bestimmt a so, dass für die Messpunkte $\begin{eqnarray} P_{ (x_i\|y_i) } \end{eqnarray}$ die Summe $\begin{eqnarray} S=( f(x_1)-y_1)²+( f(x_2)-y_2)²+( f(x_3)-y_3)² \end{eqnarray}$ minimal wird (Methode der kleinsten Fehlderquadrate). Bestimmen sie a. Zeichnen sie die Messwerte und die gefundene Gerade in ein Koordinatensystem. Ok erstmal der Text ist schon WAAAAAS lool ... die Tabelle sieht folgendermaßen aus Kraft - Verlängerung 0,4 - 1,5 1,0 - 4,5 1,5 - 8,0 Und dabei ist noch eine Zeichnung, in der die drei Punkte eingezeichnet sind und eine Gerade ... sieht aus wie f(x)=2x .... Ich brauche dringend Hilfe! Ich verstehe da null. Ich verstehe ja auch nicht, was das mit Extremwertaufgaben zu tun hat (bzw. Differentialrechnung). Wie ich das verstanden habe ist a doch sozusagen der "Streckfaktor". Ich find den eigentlcih normalerweise einfach immer raus, wenn ich für f(x) und x die Werte einsetze, und ein Gleichungssystem drauß mache .... Keine ahnung ich würde mich über Hilfe sehr freuen (Schrittweise wäre am besten, gleich Lösung oder so ist nicht mein Fall, mag auch selbst nachdenken ) Grüße
03.06.2007, 20:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Die Gerade sieht nicht aus wie f(x) = 2x, sondern IST eher wie f(x) = 5x Wie kommt man dazu? Setze doch einfach in die Formel für S die entsprechenden Werte ein! Also für $\begin{eqnarray} f(x_i) = a.x_i \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ .. Kräfte) und für $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ die Messwerte (Auslenkung). $\begin{eqnarray} S = f(a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(a) = (0.4a - 1.5)^2 + (a - 4.5)^2 + (1.5a - 8)^2 \rightarrow \ \ Min. \end{eqnarray}$ Nun minimiere f(a) nach den bekannten Regeln der Extremwertberechnung. Mit der zweiten Ableitung auf Min. prüfen! [Kontr.: a = 4.9267] mY+
03.06.2007, 20:54	Mathemachtdepri	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort ! Stimmt es ist eher f(x)=5x , hab nicht richtig auf das Koordinatensystem geguckt .... Leider verstehe ich deinen Ansatz nicht genau ... also man setzt die einzelnen Punkte in die Gleichung ein. Aber ... was beschreibt diese Gleichung ? Und wenn man das eingesetzt hat, wie macht man weiter ? Ableiten und null setzen ? Ich bräuchte Hilfe am Anfang von der Aufgabe ... denn ich verstehe noch nicht mal die Aufgabe selbst (den Sachverhalt sozusagen).
03.06.2007, 21:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a ist die Steigung der "Regressionsgeraden", also jener Geraden, auf welcher alle gegebenen Messpunkte (Wertepaare) mit möglichst kleiner Abweichung zu liegen kommen. Die Abweichungen - auch Fehler genannt - sind die Differenz der Funktionswerte auf der Geraden zu den exakten gegebenen Messwerten und können naturgemäß positiv oder negativ sein. Deshalb werden diese Differenzen quadriert und dann zur sogenannten Summe der Fehlerquadrate (S) aufsummiert. Die Aufgabe ist nun, jenes a zu finden, für das diese Summe minimal wird. Diese Methode heisst daher dann die der kleinsten Summe der Fehlerquadrate. S = S(a) oder S = f(a) ist ein Ausdruck, der nur noch die (unbekannte) Steigung a enthält. Mit Hilfe der 1. Ableitung, die Null gesetzt wird, kann a so ermittelt werden, dass S = f(a) minimal wird. Mit dem Vorzeichen der nochmaligen Ableitung (2. Ableitung) f''(a) wird geprüft, welches Extremum (Max. oder Min.) vorlliegt. So, nun ist dies weiter von dir bis zum Ende durchzuführen. mY+

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