Komposition von linearen Abbildungen

03.06.2007, 22:00

MrMilk

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Komposition von linearen Abbildungen

Hallo,

da das letzten Thema am überlaufen ist und es nur noch begrenzt damit zu tun würde ich gerne ein neues eröffnen. Falls nicht korrekt bitte einfach mir mir sagen, dass schreibe ich es um Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n mit reellen Koeffizienten. Ferner sei $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal{P}_{n}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi\left(x^{i}\right):=ix^{i-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\le i\le n \end{eqnarray*}$ . Also alles wie gehabt.

Nun wird eine weitere lin. Abb. eingeführt. die wie folgt definiert ist:
$\begin{eqnarray*} \psi:\,\mathcal{P}_{n-1}[x]\to\mathcal{P}_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray*} \psi\left(x^{i}\right)=\frac{1}{i+1}x^{i+1},\,0\le i\le n-1 \end{eqnarray*}$ . Hierzu zu soll ich nun die Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi \circ \varphi \end{eqnarray*}$ bestimmen und gebe das Bild eines beliebigen Elementes von $\begin{eqnarray*} \mathcal P _n [x] \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \psi \circ \varphi \end{eqnarray*}$ .

Dazu habe ich mir ein paar Gedanken gemacht.

Wenn ich mich nicht ganz täusche, dann ist das Bild der Funktion $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ genau um eine Dimension größter als das Urblid. Also:
$\begin{eqnarray*} Dim(\mathcal P _n[x]) &< & Dim(Im(\psi ))\\\Leftrightarrow n&<&n+1 \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich weiter überlegungen dazu:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccc}\Biggm(\mathcal{P}_{n}[x] & \to & \mathcal{P}_{n-1}[x]\Biggm) & \to & \mathcal{P}_{n}[x]\\ & \varphi & & \psi\end{array} \end{eqnarray*}$

Hinzu würde ich noch weiter gehen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ "Ableitet" und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ integriert, erhalte ich wieder die Ursprungsform, sprich $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}~a_i\cdot x^i \end{eqnarray*}$ .

Und wenn mich nicht alles täuscht, dann hat dieses auch wieder die Dimension $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr mir da zu stimmen?

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 22:22

therisen

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RE: Komposition von linearen Abbildungen

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} Dim(\mathcal P _n[x]) &< & Dim(Im(\psi ))\\\Leftrightarrow n&<&n+1 \end{eqnarray*}$

Du meinst $\begin{eqnarray*} \dim(\mathcal P _{n-1}[x])=n \end{eqnarray*}$ .

Der Rest sollte stimmen. Aber Vorsicht, eine Funktion hat keine Dimension Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

03.06.2007, 22:23

MrMilk

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Natürlich

Hammer

Vielen Dank.

Viele Grüße
-- MrMilk

03.06.2007, 22:24

tigerbine

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RE: Komposition von linearen Abbildungen
Edit: therisen war schneller. So nur eine allg. Anmerkung. Vielleicht hattet ihr das aber auch schon...

So dass letzte Thema hab ich nicht mitgelesen. Gegeben ist also die lineare Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \varphi: V \to V,~V=\Pi_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Dieses Vektorraum besitzt die sogenannte Monombasis:

$\begin{eqnarray*} M=\{1,x,...,x^n\} \end{eqnarray*}$

Eine lineare Abbildung kann eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren angegeben werde, daher hier:

$\begin{eqnarray*} \varphi(1):=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(x^i):=i\cdot x^{i-1}\quad \text{ für } i=1,...,n \end{eqnarray*}$

04.06.2007, 09:56

WebFritzi

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RE: Komposition von linearen Abbildungen

Zitat:

Original von MrMilk
Hinzu würde ich noch weiter gehen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ "Ableitet" und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ integriert, erhalte ich wieder die Ursprungsform, sprich $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}~a_i\cdot x^i \end{eqnarray*}$ .

Nein! Denk mal drüber nach.

04.06.2007, 18:28

MrMilk

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Hallo WebFritzi.

wieso nicht? Ich würde doch einmal differenzieren und danach wieder integrieren. Ich muss zugeben, da hackt es grade ein wenig bei mir unglücklich

unglücklich

Viele Grüße
-- MrMIlk

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04.06.2007, 23:09

WebFritzi

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Nun, es gilt

$\begin{eqnarray*} (\psi(\varphi(p)))(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i. \end{eqnarray*}$

04.06.2007, 23:20

MrMilk

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Hallo Webfritzi,

kannst du mir auch deine eins Begründen?
Weil irgendwie haben tigerbine und therisen die Null als richtig angesehen und nun bin ich grade ein wenig verwirrt.

Viele Grüße
-- MrMilk

04.06.2007, 23:22

tigerbine

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tigerbine hat nach therisens Post nicht weiter gelesen. Big Laugh

Big Laugh

Muss jetzt erstmal schauen. Wenigsten ist das Problem binär 0 oder 1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.06.2007, 23:28

MrMilk

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Hallo,

und wenn WebFritzi recht hat, stimmen dann noch die Dimensionen. Bin grade irgendwie ins schwankten gekommen...

Ich habe es grade einmal nachgerechnet an einem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} p(x)=a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x^1+a_0\cdot x^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k:=\varphi(p)=a_3\cdot 3\cdot x^2+a_2\cdot 2\cdot x^1+a_1\cdot 1\cdot x^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi(k)=a_3 \cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1 \cdot x^1 \end{eqnarray*}$

Folgt daraus nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} Dim(Im(\psi ))=Dim(Urbild) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
-- MrMilk

04.06.2007, 23:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
und wenn WebFritzi recht hat

Natürlich habe ich recht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nach dem Differenzieren ist a_0 weg. Wie sollte es danach wieder auftauchen?

04.06.2007, 23:47

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \psi: ~\Pi_{n-1}(\mathbb R) \to \Pi_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi(1) = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi(x^i)=\frac{1}{i+1}\cdot x^{i+1},~i=1,...,n-1 \end{eqnarray*}$

Deine Saloppe Formulierung kann so ja nicht stimmen, wenn Du mal die VR vergleichst. Sei $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist seine Ableitung $\begin{eqnarray*} p' \in \Pi_{n-1} \end{eqnarray*}$ , eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} P \in \Pi_{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun führe doch einfach mal die Rechnung durch. Dann siehst Du es ja mit dem Index.

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{i=0}^n~a_i\cdot x^i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(p) = 0 + \sum_{i=1}^n~a_i \cdot i \cdot x^{i-1} = \sum_{i=1}^n~a_i \cdot i \cdot x^{i-1} \in \Pi_{n-1} \end{eqnarray*}$

Somit können wir die zweite Abbildung darauf loslassen:

$\begin{eqnarray*} \psi(\varphi(p)) = \sum_{i=1}^n~a_i \cdot \frac{i}{i} \cdot x^i = \sum_{i=1}^n~a_i \cdot x^i \end{eqnarray*}$

somit hast Du es jetzt auch ausführlich. Hättest Du aber selbst rechnen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2007, 00:00

MrMilk

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Hallo tigerbine,

wieso das Produkt? Ich dachte immer Summen verwirrt

verwirrt

Wenn ich mich nicht gans täusche, dann gilt somit:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccc}\Biggm(\mathcal{P}_{n}[x] & \to & \mathcal{P}_{n-1}[x]\Biggm) & \to & \mathcal{P}_{n}[x]\\ & \varphi & & \psi\\Dim(n+1) & & Dim(Im(\varphi))=n & & Dim(Im(\psi))=n\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc}\Rightarrow & Dim(Urbild) & =n+1\\ & Dim(Im(\psi\circ\varphi)) & =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\end{array} \end{eqnarray*}$

Aber eine Frage:
Sind die beiden Räume nun noch Isomorphi zueinander?
Ich wurde sagen ja, aber nicht das Bild zu $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 00:02

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \Pi_n \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum aller Polynome vom Höchstgrad n. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2007, 00:04

WebFritzi

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Und dim(Im(phi)) = n ist offenbar falsch.

05.06.2007, 00:06

tigerbine

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?

verwirrt

05.06.2007, 00:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine
? verwirrt

verwirrt

Na, dim(Im(phi)) = n - 1.

05.06.2007, 00:10

tigerbine

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Schlauch steh. Raum Polynome Grad n-1 hat Dimension n.

Ist das Bild nicht der komplette Raum?

05.06.2007, 00:10

MrMilk

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@ Fritzi

Glaube ich nicht.
Dim(p) = n+1
Und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ macht einen Grad weg.
Drarus folgt dann doch n.

Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 00:13

WebFritzi

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Ist ja jut, ihr habt recht. *schäm* <-- eigentlich hasse ich sowas wie *heul* oder hier gerade *schäm*, aber ich habe keinen Smiley dafür. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na, dann so: Hammer

Hammer

05.06.2007, 00:14

MrMilk

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Dann kann ich davon ausgehen, dass dieses stimmt:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccc}\Biggm(\mathcal{P}_{n}[x] & \to & \mathcal{P}_{n-1}[x]\Biggm) & \to & \mathcal{P}_{n}[x]\\ & \varphi & & \psi\\Dim(n+1) & & Dim(Im(\varphi))=n & & Dim(Im(\psi))=n\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc}\Rightarrow & Dim(Urbild) & =n+1\\ & Dim(Im(\psi\circ\varphi)) & =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\end{array} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 00:16

WebFritzi

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Urbild wovon?

05.06.2007, 00:18

MrMilk

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Urbild der Funktion: In diesem Fall $\begin{eqnarray*} \mathcal P_n[x] \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zumindest ist ja so die Abbildungsvorschrift.
Oder Formal Korrekter $\begin{eqnarray*} Dim(Urbild (\psi \circ \varphi )) = n+1 \end{eqnarray*}$

Mit dieser Verbesserung sollte nun aber das so stimmen im Bezug auf den vorher, korrekt?

Viele Grüße
-- MrMilk

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