Grenzwertbegriff

03.06.2007, 23:35

gastuser39

Grenzwertbegriff

Hi.

Kann mir vielleicht jemand helfen und mir sagen wie man den Grenzwertbegriff am einfachsten erklären kann...
Hab Angst das in meiner mündlichen Prüfung so etwas gefragt wird... Und die Sachen die ich bei wiki finde reichen mir irgendwie nicht

03.06.2007, 23:38

pseudo-nym

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Naja eine Folge z.B konvergiert (strebt gegen einen Grenzwert), wenn ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren Glieder belibig nahe an einem bestimmten Wert, dem Grenzwert dran sind.

03.06.2007, 23:41

gastuser39

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wäre das dann lim?
bzw. strebt gegen unendlich??
oder was müsste ich dann sagen wenn ich erklären soll was der grenzwert ist?

03.06.2007, 23:44

pseudo-nym

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Das wäre der Grenzübergang dieser Folge gegen Unendlich, ja.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

Allgemein ist die Frage aber nicht so toll gestellt, denn es gibt Grenzwerte gegen bestimmte Stellen, etwa bei Funktionen.

04.06.2007, 10:39

gastuser39

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Okay danke.

Ja stimmt schon. Aber in dieser mündlichen Prüfung die uns gezeigt wurde stand echt nur erklären sie uns den Grenzwertbegriff?

Aber da gab es auch noch doofere Fragen weil mein unteres Integral und oberes Integral erklären sollte und all so ein scheiß...

04.06.2007, 11:01

klarsoweit

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Dann mußt du eben rückfragen:
"Grenzwert einer Folge oder Grenzwert einer Funktion?"

Da der Grenzwert einer Funktion auf den Grenzwert einer Folge zurückgeführt werden kann, ist wohl eher der Folgengrenzwert gemeint.

Also bleiben wir mal beim Folgengrenzwert. Hast du da irgendwelche Fragen? Ich denke, an einer Erklärung solltest du dich erstmal selbst versuchen. Schließlich wurde der im Unterricht ausgiebigst behandelt, oder nicht?

04.06.2007, 12:04

gastuser39

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Okay danke.

Puh wir haben da vor langer Zeit mal drüber gesprochen aber ist sicher so an die 2 3 Jahre her.
Grenzwert der Folge ist doch das man sich immer weiter einer bestimmten Zahl annähert...

Ich würde da dann f(x) gegen + unendlich für x gegen +/- unendlich...
irgendwie so etwas würde ich dann erklären...

Aber bin mir nicht sicher ob ich das noch richtig im kopf habe und ob es das war was damit gemeint ist.

04.06.2007, 12:56

klarsoweit

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Jetzt vermischt du wieder was. Ich dachte, wir wollten uns erstmal den Grenzwert einer Folge anschauen. Das hat mit Funktionen erstmal nichts zu tun.

Anschaulich gesprochen hat eine Folge einen Grenzwert, wenn in jeder beliebigen Umgebung um den Grenzwert alle Folgenglieder bis auf endlich viele (die außerhalb dieser Umgebung sein dürfen) enthalten sind.

Anders gesagt: die Folgenglieder gehen an den Grenzwert beliebig nahe ran.

Das ganze kann man dann auch in eine mathematische Formel schreiben, die du dann auch kennen solltest.

04.06.2007, 13:02

brain man

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Bei sowas kommen geometrische Deutungen immer gut :

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert ( für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ) genau dann gegen a, wenn

$\begin{eqnarray*} a_{n}\in [a-\epsilon,a+\epsilon] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gilt.

Oder auch die klassische Definition des Grenzwertes :

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert ( für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ) genau dann gegen a, wenn

$\begin{eqnarray*} \mid a_{n}-a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gilt.

Beide Definitionen laufen daruf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ mit wachsendem n sich einem gewissen a ( dem Grenzwert ) annähert ihn aber nie erreicht.

04.06.2007, 18:29

Nihil

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Zitat:

Original von brain man
Beide Definitionen laufen daruf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ mit wachsendem n sich einem gewissen a ( dem Grenzwert ) annähert ihn aber nie erreicht.

Das ist so nicht richtig, ansonsten wären ja konstante Folgen nicht konvergent.

Rein anschaulich kann man Grenzwertbeweise im Rahmen der Epsilontik so zusammenfassen: Zunächst gibt man ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ vor, quasi als beliebig kleinen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Streifen. Nun gilt es einen Index $\begin{eqnarray*} n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zu finden, von dem an alle Folgeglieder innerhalb des $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Streifens liegen (Bedingung: $\begin{eqnarray*} |a_n|<\epsilon~\forall~n \geq n(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ) und diesen nicht wieder verlassen (wobei dieser Wert von dem gegebenen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängt).

04.06.2007, 19:24

gastuser39

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Ich glaub das alles bis morgen in Kopf zu kriegen schaff ich leider nicht mehr...
Trotzdem vielen Dank

04.06.2007, 19:45

mercany

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Wenn ich mich mal einmischen darf. Ich denke, hier ist eher nur nach dem Grenzwertbegriff im Zusammenhang mit Funktionen gefragt.

Als ganz simples Beispiel nehmen wir mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Es ist dann z.B. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$ , da für immer größer werdenden Nenner der Bruch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ läuft.

Gruß, mercany

04.06.2007, 20:12

gastuser39

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Okay so kann man sich das Ganze auch mal merken. Danke

04.06.2007, 20:23

mo_greene

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Hier eine weitere Möglichkeit den Begriff "Grenzwert" zu definieren:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ heißt konvergent mit dem Grenzwert g, wenn für jede reelle vorgegebene Zahl "epsilon" > 0 die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n-g| < Epsilon \end{eqnarray*}$ für alle Folgeglieder mit hinreichend großer Gliednummer erfüllt ist. g heißt dann Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir das! smile

04.06.2007, 22:21

Calvin

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Es ist zwar nicht die passende Erklärung für eine mündliche Prüfung, aber für das Verständnis ist das ein sehr guter Beitrag von Leopold: Definition des Grenzwertes

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