Bijektion, Vektorraum

04.06.2007, 07:29

Iduna

Bijektion, Vektorraum

Hallo, wir sind nun zu dritt und haben von unserem Matheübungsblatt, welches wir morgen schon abgeben müssen, voll kein Plan. Haben uns jetzt auch Bücher und Seiten aus dem Internet zur Erklärung zugelegt, aber unser Problem ist, dass dort alles "mathematisch" erklärt ist. Mit den ganzen Abkürzungen usw. und wir die Zusammenhänge überhaupt nicht verstehn und die Erklärungen schon nicht wirklich lesen und verstehen können. *Verzweiflung* Vielleicht könnt ihr uns ja eventuell noch "retten" ? *hoff*

1.)

Zeigen Sie, dass die Abbildungsvorschrift aus Aufgabe 13 (diese Aufgabe steht jetzt von Papillons schon im Forum unter "lineare Abbildungsvorschrift") eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} R_p \end{eqnarray*}$ auf den dreidimensionalen reellen Vektorraum

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R^3} \equiv {( x,y,z) | x,y,z Element \mathbb{R}} \end{eqnarray*}$

definiert. Die Vektoren $\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) Element \mathbb{R^3} \end{eqnarray*}$ nennt man in diesem Zusammenhang die "Koordinaten(vektoren)" der Raumpunkte q Element R , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{pq} =\lambda_1 \vec{r_1} + \lambda_2 \vec{r_2} + \lambda_3 \vec{r_3} Element R_p. \end{eqnarray*}$ Was sind die Koordinaten der willkürlich gewählten Punkte $\begin{eqnarray*} p, q_1, q_2, q_3 Element R \end{eqnarray*}$ ?

(Bei dem R (für reelle Zahlen) das komische Zeichen darüber sollte eine 3 sein)

Hmm ich kann mit der Aufgabe absolut nix anfangen. Mein erster Ansatz wäre jetzt zu klären, was eine Bijektion ist. Eine Bijektion kann sowohl surjektiv als auch injektiv sein. Also die Wertemenge z.B. einer Menge A kann sich auf die Menge B abbilden, sowohl B wiederrum auf A.

Was hier in Wikipedia auch gut erklärt ist:

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (sie also injektiv ist), und wenn zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt (sie also surjektiv ist).

Jetzt habe ich hier in der Aufgabe einen dreidimensionalen Vektorraum, also eine x, y und z Achse in einem Koordinatensystem. Und die Abbildungsvorschrift aus der Aufgabe 13, die schon im Forum steht, soll dazu bijektiv sein.

Wie kann ich denn sowas beweisen, dass das so is

04.06.2007, 09:39

Mazze

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Einen Tag vorher ist ja ganz schäön knapp, zudem ist es nicht hilfreich die Definition die ihr verwendet auf 3 Threads zu verstreuen. Weiterhin sind eure Posts dermaßen unleserlich das wenige denke ich überhaupt Lust haben werden irgendwas hier zu schreiben.

Zitat:

Eine Bijektion kann sowohl surjektiv als auch injektiv sein.

Nicht kann sein, eine Bijektion ist eine Injektive und zugleich Surjektive Abbildung.

Zuder Aufgabe:

Ihr sollt vorher zeigen das Eure Abbildung $\begin{eqnarray*} f:R_p \to R^3 \end{eqnarray*}$ linear ist. Für linearen Abbildungen f gilt folgendes (und das habt ihr sicherlich schon gezeigt):

f ist injektiv <=> f(x) = 0 => x = 0 (nur die Null wird auf die Null abgebildet)

D.h die injektivität bekommst Du ganz leicht in dem Du f(x) = 0 lößt und dann zeigst das x gleich 0 ist.

Surjektivität: Nimm Dir einen allgemeinen Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ und finde ein Urbild im $\begin{eqnarray*} R_p \end{eqnarray*}$ . Das ist ein sogenannter Konstruktiver Beweis da Du für jedes Element im Bildraum direkt ein Element angibst.

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