p-tes moment

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04.06.2007, 13:15	asss	Auf diesen Beitrag antworten »
p-tes moment hallo aufabgenstellung ist folgende: X normalverteilt mit E(X)=0, V(X)=1, gesucht ist E(X^p). hab keine idee wie ich anfangen sollte.
04.06.2007, 13:23	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-tes moment Na wie ist denn das p-te Moment definiert?
04.06.2007, 13:27	asss	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ja gerade das problem. mit der definition von wikipedia komme ich nicht weiter. also lösung soll übrigens: E(X^p)=0 für ungerade p =(n-1)!! für gerade p rauskommen. wobei 1!!=1 und n!!=n(n-2)!!
04.06.2007, 13:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(X)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(X^2)=V(X)+(E(X))^2=1 \end{eqnarray}$ sind die Anfangswerte. Und den Rest für $\begin{eqnarray} p\geq 3 \end{eqnarray}$ bestimmt man rekursiv über partielle Integration. Dazu musst du den Integranden von $\begin{eqnarray} E(X^p) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^p \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x \end{eqnarray}$ passend zerlegen: $\begin{eqnarray} x^p \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \underbrace{x^{p-1}}_{u} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}_{v'} \end{eqnarray}$
04.06.2007, 14:07	asss	Auf diesen Beitrag antworten »
also das E(X^p)=0 für ungerade p ist kriege ich mehr oder weniger raus. aber für gerade p bekomme ich nicht die gewünschte lösung bzw. kriege es auf keine schöne form. könntest du da eventuell noch einen tipp geben.
04.06.2007, 14:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich das nicht eben getan? Partielle Integration ist der Tipp, mit genau den angegeben $\begin{eqnarray} u,v' \end{eqnarray}$ . Ich kann höchstens noch das dazu passende $\begin{eqnarray} v = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$ angeben, dann musst du dich aber erstmal bewegen.
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04.06.2007, 15:07	asss	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich die partielle intergration paar mal durchführe bekommt ich sowas raus: $\begin{eqnarray} \int\dots dx=\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-x^2}{2}}\cdot(-x^{n-1}-(n-1)x^{n-3}-(n-1)(n-3)x^{n-5}-(n-1)(n-3)(n-5)x^{n-7}-\dots-1) \end{eqnarray}$ stimmt das überhaupt noch?
04.06.2007, 15:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so hastig mit den jungen Pferden - mach erst mal nur einen partiellen Integrationsschritt und denk dabei dran, dass es sich hier um ein bestimmtes Integral in den Grenzen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ handelt: $\begin{eqnarray} E(X^p) &=& \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^p \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = \Big[ x^{p-1}\cdot \frac{-1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\Big]_{x=-\infty}^{\infty} - \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ (p-1)x^{p-2} \cdot \frac{-1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x\\ &=& 0 + (p-1)\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x^{p-2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} ~ \dd x = (p-1)\cdot E(X^{p-2}) \end{eqnarray}$
04.06.2007, 15:25	assss	Auf diesen Beitrag antworten »
ok der erste schritt würde dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \int\dots dx=\frac{-x^{n-1}e^{-\frac{x^2}2}}{\sqrt{2\pi}}-\int\dots \end{eqnarray}$ grenzen einsetzen ergibt dann bei mir: $\begin{eqnarray} =0-\int\dots \end{eqnarray}$ ok... hab jetzt gesehen was du gemacht hast... wenn man das paar schritte weiter führt steht die lösung ja dann da
04.06.2007, 15:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Geht übrigens auch für die ungeraden $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , da hier dann $\begin{eqnarray} E(X^p) = (p-1)!!\cdot E(X^1) = 0 \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} E(X)=0 \end{eqnarray}$ folgt, und für die geraden $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ genauso $\begin{eqnarray} E(X^p) = (p-1)!!\cdot E(X^0) = (p-1)!! \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} E(X^0)=E(1)=1 \end{eqnarray}$ .

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