trigonometrische funktionen Beweis

04.06.2007, 17:32

alexxa

trigonometrische funktionen Beweis

hey!

Ich sitze hier an einer Beweisaufgabe und weiß einfach nicht, wie ich hier weitermachen soll:

Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Formel:

$\begin{eqnarray*} a\cdot \sin(wt)+b \cdot \cos(wt)=A \cdot \sin(wt+c) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan(c)=\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

ich soll die Aufgabe mit den Additionstheoremen lösen.

wenn ich Additionstheorem von sin anwende komme ich auf folgende formel:

$\begin{eqnarray*} A*sin(wt+c)=A*(sin(wt)*cos(c)+cos(wt)*sin(c) \end{eqnarray*}$

aber wie kann ich dann weiter machen?Kann mir jemand weiterhelfen??

[Modedit: Latex]

04.06.2007, 17:51

MrPSI

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Hey alexxxa!

Um den Beweis weiterzuführen, ist noch die folgende Beziehung wichtig:
$\begin{eqnarray*} \tan(c)=\frac{b}{a}=\frac{\sin(c)}{\cos(c)} \Rightarrow b \cos(c) = a \sin(c) \end{eqnarray*}$

So, um jetzt weiter zu machen, musst du den Term $\begin{eqnarray*} A \cdot (\sin(\omega t) \cos(c) + \cos(\omega t) \sin(c)) \end{eqnarray*}$ einfach ausmultiplizieren, A ersetzen und den sin(c) bzw. cos(c) unter die Wurzel nehmen. Versuch dann mal ab diesem Punkt, alleine weiterzukommen. Ansonsten weiterfragen.

04.06.2007, 18:06

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Man sollte noch etwas zum Gültigkeitsbereich von

Zitat:

Original von alexxa
$\begin{eqnarray*} a\cdot \sin(wt)+b \cdot \cos(wt)=A \cdot \sin(wt+c) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan(c)=\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

sagen:

Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ klappt es nicht, klar. Aber auch für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ist diese Formel falsch. Das ist das altbekannte Problem, dass sich der Polarkoordinatenwinkel $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nicht einfach durch arctan bestimmen lässt, das geht nur im 1. und 4. Quadranten bzgl. $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ so einfach.

04.06.2007, 18:30

alexxa

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also, ausmultipliiert und eingesetzt ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}*sin(wt)*cos(c)+\sqrt{a^2+b^2}*cos(wt)*sin(c) \end{eqnarray*}$

aber wie soll ich nur sin(c) unter die Wurzel ziehen? Da habe ich so meine Probleme mit...

müsste sich nicht irgendwann etwas herauskürzen?

04.06.2007, 18:38

MrPSI

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sin(c)=\sqrt{\sin^2(c)} \end{eqnarray*}$ für einen gewissen Geltungsbereich (erster und dritter Quadrant). Jetzt kann man diesen Ausdruck unter die Wurzel ziehen. Das gleiche wird mit dem cos(c) gemacht. Alles unter der Wurzel wird ausmultipliziert und dann verwendest du die Beziehung $\begin{eqnarray*} b \cos(c) = a \sin(c) \end{eqnarray*}$ , wo möglich. Danach kann man herausheben und den trigonometrischen Pythagoras verwenden.

//edit: Korrektur. Danke Arthur fürs Finden

04.06.2007, 19:09

alexxa

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ach so, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2*cos^2(c)+b^2*cos^2(c)}*sin(wt)+ \sqrt{a^2*sin^2(c)+b^2*sin^2(c)}*cos(wt) \end{eqnarray*}$

und dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2*(cos^2(c)+sin^2(c))}*sin(wt)+ \sqrt{b^2*(cos^2(c)+sin^2(c))}*cos(wt) \end{eqnarray*}$

wodurch dann

$\begin{eqnarray*} a*sin(wt)+b*cos(wt) \end{eqnarray*}$ wird.

Tausend Dank!!!

Kannst du mir vielleicht noch kurz erklären, wie man auf den zusammenhang [latex]b/a=sin(c)/cos(c) kommt?

04.06.2007, 19:10

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(Gelöscht.)

Zwecklos - ich schlage vor, ihr beschränkt euch auf den ersten Quadranten. grmmmll

04.06.2007, 19:11

MrPSI

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Hab schon editiert. Sollte jetzt passen smile

@alexxxa:
Es ist ja bereits $\begin{eqnarray*} \tan(c)=\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ gegeben. Und es ist ja bekanntermasen $\begin{eqnarray*} \tan(c)=\frac{\sin(c)}{\cos(c)} \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich die Beziehung.

04.06.2007, 19:23

alexxa

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oh, stimmt

also danke nochmal

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