Faktorräume

04.06.2007, 18:47

MrMilk

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Faktorräume

Hallo,

ich habe leider nochmals eine Aufgabe und muss zu meiner Schande gestehen, dass mir einige Punkte nicht klar sind. Die Aufgabe ist wie folgt gestellt:

Es sei M' ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes M. Definiere für $\begin{eqnarray*} m\in M: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m+M':=\left\{ n\in M\bigm|\, m-n\in M'\right\} \end{eqnarray*}$
die Restklasse von m modulo M'. Es sei M/M' die Menge aller Restklassen und
$\begin{eqnarray*} \pi:M\to M/M',\,\,\,\pi(m):=m+M' \end{eqnarray*}$ .
Dann wird durch

$\begin{eqnarray*} \left(m+M'\right)+\left(n+M'\right)&:=&\left(m+n\right)+M' \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} r\cdot\left(m+M'\right)&:=&\left(r\cdot m\right)+M' \end{eqnarray*}$

eine Addition und eine skalare Multiplikation auf M/M' definiert., die M/M' zu einem \mathbb{R}-Vektorraum machen.

Ich hae hierzu folgende Fragen:

1) ist n beliebig aber fest gewählt?
2) wie kann ich mir den Vektorraum M vorstellen? Wäre es zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ ?

Bzw. wie sähe zum Beispiel ein Elemente $\begin{eqnarray*} m+M' \end{eqnarray*}$ aus? Wäre es in diesem Fall eine der Restklasse $\begin{eqnarray*} [0],[1],[2],[3],[4] \end{eqnarray*}$ ?
Bzw. wäre in diesem Fall $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
-- MrMilk

04.06.2007, 23:16

WebFritzi

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RE: Faktorräume

Zitat:

Original von MrMilk
1) ist n beliebig aber fest gewählt?

Wobei?

Zitat:

Original von MrMilk
2) wie kann ich mir den Vektorraum M vorstellen? Wäre es zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ ?

Nee, das ist doch kein IR-Vektorraum. Für ein m aus M kannst du dir m + M' gerade als das vorstellen, was es ist: der Unterraum M um den Vektor m verschoben.

04.06.2007, 23:31

MrMilk

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mmh.

Hallo WebFritzi,

könntest du mir evenutell ein Beispiel geben?
Aber wie ist dass dann mit den Restklassen gemeint.

Das n hier bei:
$\begin{eqnarray*} m+M':=\left\{ n\in M\bigm|\, m-n\in M'\right\} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
-- MrMilk

04.06.2007, 23:42

WebFritzi

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Beispiel? Kein Problem. Nimm dir den IR^2 als M und M' als den Graphen der Funktion f(x) = x. Wähle weiter m = (0,1). Dann ist m + M' der Graph der Funktion g(x) = x + 1. Mal es dir auf!

04.06.2007, 23:48

MrMilk

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Aber wo sind dann die Restklasse?

Bzw. das müssten dann zwei parallele Aunktionen zur x-Achse sein. eine mit Abstand 1 und die andere mit Abstand 0, korrekt?

Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 00:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
Aber wo sind dann die Restklasse?

Wenn du damit die Äquivalenzklasse meinst: naja, das ist in meinem Beispiel die Gerade x + 1.

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05.06.2007, 00:24

MrMilk

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Hallo WebFritzi,

ich glaube so langsam verstehe ich was du meinst.

Ich habe nun zwei Teilaufgabe dazu:
(i) $\begin{eqnarray*} \pi:M\to M/M' \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung mit Bild $\begin{eqnarray*} \pi=M/M' \end{eqnarray*}$ .

(ii) Für die Menge $\begin{eqnarray*} Kern\,\pi:=\left\{ m\in M\Biggm|\,\pi(m)=0_{M/M'}\right\} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} Kern \pi=M' \end{eqnarray*}$ .

Angeblick ist dieses in weniger als fünf Zeilen zu beweisen. Aber ich muss zugeben, dass ich doch noch mit diesen Zeilen Probleme hab.

Und zwar meine erste Frage: wie ist $\begin{eqnarray*} M/M' \end{eqnarray*}$ zu werten? Soll es eine Division darstellen?

Bzw. sollen bei eins dann L1, sowie L2 nachgewiesen wrden und bei zwei gzeigt werden, dass jedes Element auf das Nullelement abgebildet wird?

Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 01:09

WebFritzi

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Es fehlt mal wieder die Abbildungsvorschrift...

05.06.2007, 13:05

MrMilk

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Sicher?
Sollte das nicht im ersten Post reichen?

Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 13:17

WebFritzi

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Nein. Woher soll ich denn wissen, dass genau diese Abbildung gemeint ist. Du könntest ja auch eine andere meinen. Ich finde es immer etwas egoistisch, wenn jemand hier etwas schreibt und sich absolut keinen Kopf darum macht, ob die anderen verstehen, was gemeint ist. Und auch ein wenig dümmlich, denn man möchte doch gerade erreichen, dass man verstanden wird, oder?

Du gehst mit den mathematischen Begriffen und der Präsentation deiner Gedanken hier im Forum eh viel zu schwammig um. Mathematik erfordert penibelste Genauigkeit. Diese vermisse ich bei dir völlig.

05.06.2007, 13:20

MrMilk

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Flache Bälle am Mittag.
Viele Grüße
-- MrMilk

05.06.2007, 19:57

therisen

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Hallo,

für (i) sollst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist (das ist leicht einzusehen).
(ii) ist auch einfach. Zum Verständnis: Stell dir einfach mal

$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Z \to \mathbb Z/p\mathbb Z,\, z\mapsto z+p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ vor.

Du interessierst dich für $\begin{eqnarray*} \ker\pi \end{eqnarray*}$ . Betrachte das Bild mal modulo p, also

$\begin{eqnarray*} z\equiv 0 \pmod p \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} z\in\ker\pi \end{eqnarray*}$ )

Für welche Zahlen z ist dies erfüllt?

Übrigens: In der Algebra wird diese Projektion sehr häufig gebraucht. Dort ist sie auch als kanonischer Epimorphismus $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekannt.

Gruß, therisen

05.06.2007, 20:59

MrMilk

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Hallo therisen,

inzwischen bin ich auch folgende Überlegungen kommen:

$\begin{eqnarray*} \pi:M\to M/M',\,\,\,\pi(m):=m+M'.\,(*)\\\left(m+M'\right)+\left(n+M'\right)&:=&\left(m+n\right)+M'\,(**)\\&und&\\r\cdot\left(m+M'\right)&:=&\left(r\cdot m\right)+M'\,(***) \end{eqnarray*}$

Zu (i):Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},\:\lambda_{2}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_{1},\mu_{2}\in M \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \pi\left(\lambda_{1}\mu_{1}+\lambda_{2}\mu_{2}\right)&\underset{(*)}{=}&\left(\lambda_{1}\mu_{1}+\lambda_{2}\mu_{2}\right)+M'\\&\underset{(**)}{=}&\left(\lambda_{1}\mu_{1}+M'\right)+\left(\lambda_{2}\mu_{2}+M'\right)\\&\underset{(***)}{=}&\lambda_{1}\left(\mu_{1}+M'\right)+\lambda_{2}\left(\mu_{2}+M'\right)\\&=&(\lambda_{1}\pi\left(\mu_{1}\right)+\lambda_{2}\pi\left(\mu_{2}\right))\in M/M' \end{eqnarray*}$

Zu (ii):
Es gilt zu überlegen, wann $\begin{eqnarray*} \pi(m)=0_{M/M'} \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist dieses der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} m-n=\lambda M', \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (sprich ein Vielfaches von m). Somit müssen wir n umschreiben:

$\begin{eqnarray*} m-n&=&\underbrace{\lambda m}_{=0}\\\Leftrightarrow n&=&-(m(\lambda+1)) \end{eqnarray*}$

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} m-(m\cdot(1-\lambda))&=&\lambda m\\\Leftrightarrow m-m-\lambda m&=&0_{M/M'}\\-\lambda m&=&0_{M/M'}\\&&\\1.Fall:&&\lambda\neq0\\&\Rightarrow&m=0_{M/M'}\\&&\\2.Fall:&&\lambda=0\\&\Rightarrow&0\cdot m=0_{M/M'}\\&&\\&\Rightarrow&Kern(\pi)=M' \end{eqnarray*}$

Könntest du diesem zu zustimmen?

Viel Grüße
-- MrMilk

06.06.2007, 10:11

Lockenkopf

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Hey!

Zitat:

Original von MrMilk:
Zu (i):Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},\:\lambda_{2}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_{1},\mu_{2}\in M \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \pi\left(\lambda_{1}\mu_{1}+\lambda_{2}\mu_{2}\right)&\underset{(*)}{=}&\left(\lambda_{1}\mu_{1}+\lambda_{2}\mu_{2}\right)+M'\\&\underset{(**)}{=}&\left(\lambda_{1}\mu_{1}+M'\right)+\left(\lambda_{2}\mu_{2}+M'\right)\\&\underset{(***)}{=}&\lambda_{1}\left(\mu_{1}+M'\right)+\lambda_{2}\left(\mu_{2}+M'\right)\\&=&(\lambda_{1}\pi\left(\mu_{1}\right)+\lambda_{2}\pi\left(\mu_{2}\right))\in M/M' \end{eqnarray*}$

habe gleiche aufgabe. MrMilk hat hier doch linearität gezeigt, jedoch nicht surjektivität oder?

Anschaulich ist die Surjektivität klar. Nur die Formalität macht mir zu schaffen unglücklich

unglücklich

Surjektivität hatten wir mithilfe der Linearen Hülle bewiesen. Jedoch sehe ich
nicht dass M ein endlich dimensionaler Vektorraum ist.

wenn M endlich wäre würde das ungefähr so aussehen nach unserem Script Seien :

$\begin{eqnarray*} m_1, ..., m_n \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi (<m_1, ..., m_n>) = <\pi(m_1), ..., \pi(m_n) > =: h \end{eqnarray*}$
nun wäre zu zeigen, dass h ein Erzeugendensystem EZS von M/M' ist...
bin ich völlig auf dem falschen dampfer?

Grüße! Lockenkopf

06.06.2007, 12:36

WebFritzi

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@Lockenkopf: Ja, MrMilk hat die Linearität gezeigt und nicht die Surjektivität. Aber bei deinen Ausführungen verstehe ich gar nichts!

@MrMilk: wie der Lockenkopf ja schon angemerkt hat, hast du in (i) Linearität anstatt der Surjektivität gezeigt. Das ist auch gut, war aber eben nicht die Aufgabe. Und bei der Ausrechnung des Kerns habe ich nach dem ersten Humbuk nicht weitergelesen. Humbuk: $\begin{eqnarray*} m - n = \lambda M'. \end{eqnarray*}$ Erstens habe ich keine Ahnung, wo plötzlich das n herkommt, und zweitens setzt du da einen Vektor (m - n) mit einem Unterraum gleich (lambda * M'). Das kann ja nicht gehen. Fang nochmal von vorne an. Du sollst den Kern von pi berechnen. Also ist es erstmal sinnvoll, sich darüber Gedanekn zu machen, was denn eigentlich der Nullvektor in deinem neuen Vektorraum M/M' ist...

06.06.2007, 12:48

MrMilk

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Hallo WebFritzi.

Das n habe ich hieraus genommen.

Zitat:

Es sei M' ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes M. Definiere für $\begin{eqnarray*} m\in M: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m+M':=\left\{ n\in M\bigm|\, m-n\in M'\right\} \end{eqnarray*}$

Da schon das Wort Restklasse gefallen ist, habe ich mir überlegt, dass immer das Vielfache von der Restklasse der Null entspricht.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=0=10=15=... \end{eqnarray*}$

Daher das mit dem Lambda.

Kannst du mir soweit folgen.

Vielleicht könntest du uns einen Tipp geben.

Zu(i):
Gut ich habe in Linearität gezeigt. Aber wie kann ich nun weiter machen.

Was "Lockenkopf" zum Ausdruck bringen wollte, das wir zeigen, dass mit der $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ Funktion eine Hülle dargestellt wird, falls ich es richtig verstehe. Wenn wir dieses wissen, dann können wir auch sagen, das die Funktion Surjektiv ist, das jeder Wert aus dem Bildbereich dargestellt werden kann.

Ich hoffe es ist mir geglückt verständlich auszudrücken, was ich meine.

Viele Grüße
-- MrMIlk

06.06.2007, 13:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
Hallo WebFritzi.

Das n habe ich hieraus genommen.

Zitat:

Es sei M' ein Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes M. Definiere für $\begin{eqnarray*} m\in M: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} m+M':=\left\{ n\in M\bigm|\, m-n\in M'\right\} \end{eqnarray*}$

Da schon das Wort Restklasse gefallen ist, habe ich mir überlegt, dass immer das Vielfache von der Restklasse der Null entspricht.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=0=10=15=... \end{eqnarray*}$

Daher das mit dem Lambda.

Kannst du mir soweit folgen.

Nein, leider nicht. Aber ich schreibe dir nochmal "ordentlich" auf, was m + M' eigentlich ist.

$\begin{eqnarray*} m + M' := \{m+m' : m'\in M'\}. \end{eqnarray*}$

Das entspricht eurer Definition (warum?), ist aber wie ich finde besser verständlich. So, und jetzt zum Nullvektor in M/M'. Der hat die Form $\begin{eqnarray*} m_0 + M'. \end{eqnarray*}$ Und für ihn muss gelten

$\begin{eqnarray*} (m + M') + (m_0 + M') = m + M' \,\text{ für alle }\,m\in M. \end{eqnarray*}$

Was ist wohl m_0? Und überleg dir vielleicht auch, wann zwei Äquivalenzklassen m_1 + M' und m_2 + M' übereinstimmen. Und mach dir auch klar, was hier eigentlich die Äquivalenzrelation ist. Also: wann sind m_1 und m_2 äquivalent? Diese Fragen hängen alle sehr eng miteinander zusammen.

Zitat:

Original von MrMilk
Zu(i):
Gut ich habe in Linearität gezeigt. Aber wie kann ich nun weiter machen.

Na, so wie man halt Surjektivität zeigt. Du nimmst dir ein Element aus M/M' und zeigst, dass es dann ein Element aus M gibt, so dass dieses gerade auf das in M/M' abgebildet wird.

06.06.2007, 14:16

MrMilk

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Hallo WebFritzi,

was du geschrieben hast, habe ich mir einmal durch den Kopf gehen lasse.

zu i:

Sei $\begin{eqnarray*} w\in M/M' \end{eqnarray*}$ , somit gilt nach Defintion: $\begin{eqnarray*} w=m+M' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ . Aber dieses kann doch nicht schon alles sein, oder?

zu ii:
Es kann $\begin{eqnarray*} \pi(e)=0_{M/M'} \end{eqnarray*}$ sein, wenn e dass Nullelement darstellt. Hinzu wird das Nullelement dargestellt, somit ist schon einmal bekannt es dass es sich um einen Unterraum von M handelt.
Es muss gelten, dass $\begin{eqnarray*} Kern(\pi)=M' \end{eqnarray*}$ , da M' die Menge {0} ist.

Ganz ehrlich, irgendwie weiß ich langsam nicht mehr weiter *heul*

Viele Grüße
-- MrMilk

06.06.2007, 14:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
zu i:

Sei $\begin{eqnarray*} w\in M/M' \end{eqnarray*}$ , somit gilt nach Defintion: $\begin{eqnarray*} w=m+M' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ . Aber dieses kann doch nicht schon alles sein, oder?

Ne, vor allem nicht, weil du die Surjektivität der Abbildung pi zeigen sollst, sie allerdings nicht ein einziges mal erwähnst.

Zitat:

Original von MrMilk
zu ii:
Es kann $\begin{eqnarray*} \pi(e)=0_{M/M'} \end{eqnarray*}$ sein, wenn e dass Nullelement darstellt.
[/latex]

Es kann nicht nur so sein, sondern es ist so. Denn pi ist linear. Das solltest du eigentlich wissen.

[quote]Original von MrMilk
Hinzu wird das Nullelement dargestellt, somit ist schon einmal bekannt es dass es sich um einen Unterraum von M handelt.
Es muss gelten, dass $\begin{eqnarray*} Kern(\pi)=M' \end{eqnarray*}$ , da M' die Menge {0} ist.

Glaubst du ehrlich, man kann das verstehen?

1. Was bedeutet "hinzu" in diesem Zusammenhang?
2. Wieso ist es klar, dass es (was ist es?) sich um einen Unterraum handelt?
3. kern(pi) = M' ist richtig, aber M' ist natürlich nicht {0}. M' ist ein Unterraum von M. Das muss doch nicht {0} sein. Wie kommst du nur darauf.

Man weiß bei dir eigentlich oft nicht, was du gerade behandelst. Ich kann auch nicht wirklich feststellen, dass du dich bemühst, verständlich rüberzukommen. Letztendlich ist das ja dein Pech, weil es länger dauert, bis du Erklärungen bekommst (es müssen ja erstmal die Unklarheiten beseitigt werden), aber ich bin es langsam leid, immer wieder nachzufragen. Irgendwann antworte ich nicht mehr.

08.06.2007, 19:59

MrMilk

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So, ich habe noch einmal meine Gedanken gesammelt.

Nun bin ich zufolgendem entschluss gekommen:

Surjektivität:

Sei $\begin{eqnarray*} m+M'\in M/M' \end{eqnarray*}$ , so muss ein Element aus dem Urbildbereich existierten, da nach Abbbildungsvorschrift gilt: $\begin{eqnarray*} \pi(m):=m+M' \end{eqnarray*}$ .

Somit ist das Element aus dem Urblidbereich $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Kann dieses so stimmen?

Viele Grüße
-- MrMilk

08.06.2007, 20:21

WebFritzi

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Ja, nur ein bißchen komisch aufgeschrieben. Also: Sei v ein Element aus M/M'. Dann hat v die Form v = m + M' mit einem m aus M. Es folgt pi(m) = m + M' = v. Also ist pi surjektiv.

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