Partialbruchzerlegung / Koeffizientenvergleich

04.06.2007, 21:33

kruemel-11

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Partialbruchzerlegung / Koeffizientenvergleich

Hallo zusammen,

ich habe schon so ziemlich jede i-net site durch doch mein verständnisproblem ist leider immer noch nicht gelöst, auch das neu gekaufte mathebuch, liefert keine zufriedenstellende klarheit.

meine vorliegende aufgabe ähnelt dieser (extra nur eine vergleichsaufgabe gewählt, damit ich meine selber lösen kann):

$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{1}{(2i-2)(2i+1)} \end{eqnarray*}$

(mein erster versuch in latex, ich hoffe es funktioniert)

ich verstehe wie man die einzelnen teilsummen ausrechnet, habe dies für meine andere aufgabe auch bereits gemacht, aber ich verstehe nicht wie man dann s_n ausrechnen kann bzw. einen bezug dazu erstellt und habe nun gelesen das man dies bei dieser aufgabe bspw. mit einer partizialbruchzerlegung und anschließendem Koeffizientenvergleich tun kann. Könnte mir das bitte jemand anhand dieser obigen aufgabe erklären. Wenn hinter dem Summenzeichen nur a_i steht oder was auch immer komme ich klar aber sobald es komplexer wird, weis ich nicht mehr weiter und meine lektüre hilft mir da leider auch nicht weiter, hier wird nur anhand eines bsp. erklärt was vermittelt werden soll, das reicht mir in diesem fall leider nicht aus.

ich danke euch schon jetzt für eure hilfe, und hoffe ich verstehe es dann endlich, dass ich meine ursprüngliche aufgabe lösen kann.

lg
kruemel

edit hatte eine klammer vergessen

04.06.2007, 21:35

mercany

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Was willst du denn machen? Was genau ist die Aufgabe?

04.06.2007, 21:46

kruemel-11

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hallo mercany
der summenwert soll berechnet werden

04.06.2007, 22:06

AD

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Irgendwas stimmt nicht: Der erste Summand, also der für i=1 ist nicht definiert: Division durch Null!

Ich nehme zunächst mal an, die Summe beginnt bei i=2. Dann kann man das ganze so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum _{i=2}^n \frac{1}{(2i-2)(2i+1)} = \frac{1}{3} \sum _{i=2}^n \left( \frac{1}{2i-2} - \frac{1}{2i+1} \right) \end{eqnarray*}$

04.06.2007, 22:10

kruemel-11

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das kommt daher da ich beliebige zahlen eingetragen habe, aber nicht mehr drüber nachgedacht habe,

dann lass den nenner bspw. (6i-2) (6i+1) sein

(ich glaube ich habe schon zu lange über dieser aufgabe gesessen, das sind jetzt übrigens wieder nicht die orginalzahlen.)

04.06.2007, 22:18

AD

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Das ist eine heikle Sache, da x-beliebige Zahlen einzusetzen und dann ein Ergebnis zu erwarten:

Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum _{i=2}^n \frac{1}{(2i-2)(2i+1)} = \frac{1}{3} \sum _{i=2}^n \left( \frac{1}{2i-2} - \frac{1}{2i+1} \right) = \frac{4}{9} - \frac{\ln(2)}{3} \end{eqnarray*}$ ,

bei $\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{1}{(6i-2)(6i+1)} \end{eqnarray*}$ habe ich dagegen keine Ahnung ob überhaupt, bzw. wenn es möglich ist, wie man das mit gewöhnlichen Funktionen ausrechnen kann...

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04.06.2007, 22:22

kruemel-11

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RE: Partialbruchzerlegung / Koeffizientenvergleich
mir geht es ja in erster linie um den weg, nicht um das ergebnis, aber wenn es wichtig ist die richtige aufgabe lautet

$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} \end{eqnarray*}$

wie kommst du z.b. auf die 1/3 vor dem summenzeichen, bei einem deiner vorherigen ansätze?

edit:
ich habe zwar etwas über diese aufgabe auch hier im forum gefunden, aber weitergeholfen hat es nicht, da der rechenweg nicht erklärt wurde, nur ich möchte diesen einfach gerne kapieren

04.06.2007, 22:25

AD

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RE: Partialbruchzerlegung / Koeffizientenvergleich
Das ist schon wieder was völlig anderes, denn das ist eine Teleskopsumme, etwas ganz einfaches. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Mach doch einfach eine Partialbruchzerlegung, also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} \end{eqnarray*}$

mit zu bestimmenden Konstanten $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$

04.06.2007, 22:35

kruemel-11

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RE: Partialbruchzerlegung / Koeffizientenvergleich
jetzt erkläre mich nicht für blöd, aber so weit war ich schonmal und hab mich dann total verfranzt, kannst du mir noch einen ansatz weiter liefern, dann ergänze ich gerne und versuche mein glück
vielleicht sollte ich auch einfach mal ne nacht drüber schlafen?!

05.06.2007, 10:37

kruemel-11

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RE: Partialbruchzerlegung / Koeffizientenvergleich
sind das die leichten schläge auf den hinterkopf Forum Kloppe

Forum Kloppe

welche das denkvermögen anregen sollen?

also du sagtest ich solle so anfangen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} \end{eqnarray*}$
das hatte ich schonmal hier auf meinem blatt papier, bevor das chaos erst richtig los ging, ich habe mir das nochmal neu betrachtet, und hätte dann als nächsten schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} |*(3i-2) * (3i+1) \end{eqnarray*}$
1 = A*(3i+1) + B*(3i-2)

doch wenn ich da jetzt weiter ausmultipliziere, kommt da meiner Meinung nach nicht viel brauchbares bei raus, aber du sagst ich solle das machen, richtig?

edit:
okay habe mal weiter probiert und kam auf 2B = A
setzte ich das wiederum ein erhalte ich für i = 1/9
und was mache ich jetzt damit?

05.06.2007, 11:02

Airblader

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Du sollst A und B bestimmen, nicht (wie auch immer du es geschafft hast) i. smile

smile

air

05.06.2007, 11:07

kruemel-11

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naja dann für B 1/2 und für A 1?

dann ist i auch falsch weil i dann -1/3 sein müssten, rein theoretisch oder?

und wie gehts jetzt weiter?

05.06.2007, 12:13

Tjamke

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@kruemel kannst du deinen Weg dazu schreiben, ich interessiere mich nämlich auch dafür und komm aber jetzt nicht mehr mit. Wär sau lieb! smile

smile

Danke!

05.06.2007, 12:51

kruemel-11

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hallo tjamke,

ich hatte hier:
1 = A*(3i+1) + B*(3i-2)
entsprechend umgestellt und dann gekürzt bis ich auf 2B = A kam und dann muss ja dementsprechend B 1/2 sein und A ist dann 1, ich bin mir aber nicht sicher ob das so überhaupt gekürzt werden kann wie ich das gemacht habe...

anschließend habe ich A und B wieder in die zerlegung eingesetzt, diesesmal mit den errechneten werten und kam dann auf i = -1/3

was kommt denn bei dir heraus?

lg
kruemel

05.06.2007, 12:53

Airblader

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Also ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i+2)(3i-2)} = \frac{A}{3i+2} + \frac{B}{3i-2} = \frac{-\frac{1}{4}}{3i+2} + \frac{\frac{1}{4}}{3i-2} \end{eqnarray*}$

Werds mal aber eben erst überprüfen

air
Edit: Meins stimmt.

Also $\begin{eqnarray*} A = -\frac{1}{4} & ; & B = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Edit2: Wenn du willst kann ich den ganzen Weg aufschreiben

Edit3:

Upsala. Vergesst alles. Hatte mich verlesen *schäm*

Edit4:

Und nun richtig:
$\begin{eqnarray*} A = \frac{2}{9i} & ; & B = \frac{1}{9i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{\frac{2}{9i}}{3i-2} + \frac{\frac{1}{9i}}{3i+1} \end{eqnarray*}$

(Dazu kann ich dir natürlich auch den Rechenweg geben. Aber jetzt erstmal genug Edits! Big Laugh

Big Laugh

)

05.06.2007, 13:20

kruemel-11

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jetzt kapier ich gar nix mehr...

wie kommst du da drauf, ich wäre dir für den rechenweg dankbar, ich bekomme es offensichtlich nicht selbst hin

05.06.2007, 13:22

Airblader

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Okay, dauert nur eben smile

smile

air
Edit: So, hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = A(3i+1) + B(3i-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = 3Ai + A + 3Bi - 2B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = (3A + 3B)i + A - 2B \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir $\begin{eqnarray*} i = 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1 = (3A + 3B) \cdot 0 + A - 2B = A - 2B \Rightarrow A = 2B \end{eqnarray*}$

Das A setzen wir wieder ein:

$\begin{eqnarray*} 1 = (6B + 3B)i + 2B - 2B = 9Bi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow B = \frac{1}{9i} \end{eqnarray*}$

Und dann noch: $\begin{eqnarray*} A = 2B = 2 \cdot \frac{1}{9i} = \frac{2}{9i} \end{eqnarray*}$

So smile

smile

air

05.06.2007, 13:39

kruemel-11

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danke für die veranschaulichung airblader, ich wusste nicht das man auch einfach i nullsetzen darf, so leuchtet mir das bis dahin ein, kannst du mir evtl. noch den nächsten schubs gegeben was ich nun damit anfangen kann?

nicht vorrechen, nur hinweisen bitte

edit:

kann ich das jetzt in lim einsetzen?
dann habe ich aber ja immer noch nicht meinen gesuchten wert...
ich hoffe das ich das irgendwann blicke, sonst kann ich ja die künftig kommende differenzial und integralrechnung haken oder?

05.06.2007, 14:05

Airblader

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Du kannst die die PBZ auf wikipedia anschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab sie selber von dort gelernt (bin ja erst Kl.11)

Mithilfe der PBZ kannst du dein Problem nun umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \sum_{i=1}^n (\frac{\frac{2}{9i}}{3i-2} + \frac{\frac{1}{9i}}{3i+1}) \end{eqnarray*}$

Kommst du nun weiter?

air

05.06.2007, 14:26

kruemel-11

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ganz ehrlich nein, alles was ich damit versuche auszurechnen, ist 100%ig falsch, da ich mir das so nicht vorstellen kann, und ich immo auch gar nicht mehr weis was ich durch dieses pbz erreichen wollte,
müsste ich dann damit nicht eigentlich die differenz von einem partialwert zum nächsten haben?

05.06.2007, 14:54

Airblader

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Nunja, mit Summenwerten kenn ich mich leider nicht aus, darum kann ich dir da auch nicht mehr weiterhelfen, muss jmd übernehmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Tipp zur PZB kam ja nicht von mir, aber bei der konnte ich dir eben helfen.

air

05.06.2007, 16:25

Chrisi_K

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Hallo

Die PBZ ist falsch. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = A(3i+1) + B(3i-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = 3Ai + A + 3Bi - 2B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0i + 1 = (3A + 3B)i + A - 2B \end{eqnarray*}$

Jetzt Koeffizientenvergleich:
$\begin{eqnarray*} 0 = (3A + 3B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 = A - 2B \end{eqnarray*}$
Aus der ersten Gleichung folgt: $\begin{eqnarray*} A = - B \end{eqnarray*}$
Einsetzen in zweite Gleichung: $\begin{eqnarray*} 1 = - 3B \end{eqnarray*}$
Dies ergibt: $\begin{eqnarray*} B = - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Wenn Du dies einsetzt erhältst Du eine schöne Teleskopsumme.

Gruss Chris

05.06.2007, 17:43

kruemel-11

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hallo chris,

danke erstmal für die korrektur Freude

Freude

. ich verstehe die rechnung fast komplett, nur woher weis ich wie ich die gesamte gleichung bei dem koeffizientenvergleich aufteilen muss (auch und vor allem für zukünftige aufgaben)? Das ist das einzige, das z.zt. noch einer kurzen erklärung bedarf, ich schätze mit den nun gegeben zahlen dürfte ich ein vernüftiges ergebnis herausbringen. ich halte euch auf dem laufenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg
kruemel

edit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} = \frac{\frac{1}{3}}{3i-2} + \frac{-\frac{1}{3}}{3i+1} \end{eqnarray*}$ mal Hauptnenner
$\begin{eqnarray*} 1 = {\frac{1}{3}}*{3i+1}+{-\frac{1}{3}}*{3i-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$
somit hebt es sich ja auf. müsste also passen
und wie kann ich das jetzt für meinen summenwert anwenden? verwirrt

verwirrt

05.06.2007, 21:41

Airblader*

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Möchte mich vielmals entschuldigen. Ich weiß echt nicht, wie ich diesen Fehler bei der PBZ machen konnte. War grad schwer schockiert, als ich nochmal nachrechnete und dann wirklich auf das Ergebnis von Chrisi_K kam. Hab auch erst dann meinen Fehler gefunden ... war wohl einfach weil ich zu schnell geschrieben habe.

Naja, tut mir sehr Leid wegen der Verwirrung.

@kruemel-11

Also ich persönlich finde es einfach, wenn man es so macht, wie ich es gemacht hatte (von dem Fhler abgesehen). Du setzst i=0, kommst auf ein Verhältnis von A und B, setzst dies wieder ein, hast also eine Konstante eliminiert, kannst die andere ermitteln, setzt widerum ein und kriegst die andere raus.

Nunja, wie gesagt ... nochmals Sorry. Schäme mich. Irgendwie mach ich in letzter Zeit zu viele Fehler traurig

traurig

air

05.06.2007, 23:01

kruemel-11

Auf diesen Beitrag antworten »

@air (sorry for off topic)

kein problem, wir machen alle fehler, dafür sind sie ja da, um es anschließend richtig zu machen, und das schöne ist ja auch das wir aus ihnen lernen können smile

smile

06.06.2007, 09:20

Tjamke

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, sry, dass ich erst jetzt wieder schreib.

@Chrisi_K : Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, weiß aber nicht warum man den Koeffizientenvergleich macht, kannst du mir nochmal helfen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{A}{3i-2} + \frac{B}{3i+1} = \frac{\frac{1}{3}}{3i-2} + \frac{-\frac{1}{3}}{3i+1} \end{eqnarray*}$ mal Hauptnenner
$\begin{eqnarray*} 1 = {\frac{1}{3}}*{3i+1}+{-\frac{1}{3}}*{3i-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$
somit hebt es sich ja auf. müsste also passen
und wie kann ich das jetzt für meinen summenwert anwenden?

dass hatte kruemel-11 noch geschrieben und ich wollte nur nicht, dass es unter geht. (Außerdem will ichs ja auch wissen Big Laugh

Big Laugh

)

aber was mir grad aufällt:
$\begin{eqnarray*} 1 = {\frac{1}{3}}(3i+1){-\frac{1}{3}}(3i-2) \end{eqnarray*}$
des sind falsche Klammern gewesen beim latex Kruemel-11, sonst stimmts ja nicht mehr, oder?

06.06.2007, 09:58

Chrisi_K

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Hallo

Die PBZ muss für alle Werte von i gelten. Deshalb müssen die Koeffizienten für alle Potenzen von i links und rechts gleich sein.
D.h. die Koeffizienten ohne i müssen gleich sein, diejenigen mit i auch, und falls vorhanden die mit i-Quadrat und weiteren Potenzen ebenfalls.
Ihr seht auch, dass ich bei der letzten Gleichung vor dem Koeffizientenvergleich links 0*i + 1 geschrieben habe, damit der Null-Koeffizient vor dem i sichtbar wird.

Die Gleichung der Koeffizienten ohne i, ist dieselbe Gleichung, die Airblader erhält, wenn er i=0 einsetzt. Er hatte nur die 1 auf der linken Seite der Gleichung unterschlagen.

Als erste Kontrolle des Ergebnisses kann verwendet werden, dass immer eine Zahl herauskommen muss. Wenn so wie bei Airblader ein von i abhängiger Term entseht, dann ist etwas falsch.

Gruss Chris

06.06.2007, 10:22

kruemel-11

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@tjamke

du hast recht, ich habe die klammern unterschlagen
ich war so froh das latex endlich das angezeigt hat, was ich geschrieben habe, dass ich die Klammern dafür klatt übergangen habe... aber ich habe es mit den klammern gerechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

@chris
danke dir ich bin gestern noch mal beide rechengänge durch und habe deine mit der von air verglichen und habe es inzwischen kapiert.

@all
leider weis ich immer noch nicht wie mich das jetzt auf meinen summenwert bringt, könnte mir da noch mal jemand in den (na ihr wisst schon wohin) treten? Danke!

06.06.2007, 17:24

mathe760

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Ämm sorry wenns ne blöde frage ist, aber wieso setzt man i=0 ??

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