Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest

16.01.2005, 20:14

FunDancerBhv

Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest

Hallo, habe mit zwei Aufgaben einige Probleme und weiß mittlerweile trotz einiger Recherchen im Internet nicht mehr weiter.

1. Aufgabe - standardisierte Zufallsvariable
Aufgabe:
Ist X eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung s, so heißt die Zufallsvariable X* mit $\begin{eqnarray*} X*= \frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ die zu X gehörige "standardisierte Zufallsvariable".
a) Berechne die Werte der standardisierten Zufallsvariablen X* einer Zufallsvariablen X mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilung
$\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
$\begin{eqnarray*} P(X=x_i) \end{eqnarray*}$ 0,1|0,2|0,2|0,3|0,1|0,1
b) Berechne E(X*) und V(X*)

ad a: Bei a brauche ich ja zunächst einmal den Mittelwert und die Varianz von X um die Umformung vornehmen zu können.
Daher habe ich für den Mittelwert bzw. E(X) folgendes gerechnet:
$\begin{eqnarray*} E(X)= \sum_{i=1}^n~x_i * P(X=x_i)= \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (-2)*0,1+(-1)*0,2+0*0,2+1*0,3+2*0,1+3*0,1=0,4 \end{eqnarray*}$
und für die Varianz:
$\begin{eqnarray*} V(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n~x_i^2-\mu^2= \sigma^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6} [((-2)^2-0,4^2)+((-1)^2-0,4^2)+(0^2-0,4^2)+(1^2-0,4^2)+(2^2-0,4^2)+(3^2-0,4^2)]=2,92666 \end{eqnarray*}$
demnach wären die Werte für X*
$\begin{eqnarray*} x^*_i \end{eqnarray*}$ -1,263|-0,678|-0,094|0,491|1,075|1,660
Hier jedoch weiß ich nicht ob dies so richtig ist, und was diese mir nun im Vergleich zu den Originalwerten sagen? Außerdem ist meine Fragen wie würde ich diese im Vergleich zeichnen? Bleibt $\begin{eqnarray*} P(x=x_i) \end{eqnarray*}$ gleich?
ad b: Hier muss ich doch jetzt eigentlich nur noch von den unter a bekommenen Werten mit den obengenannten Formeln die entsprechenden Werte ausrechnen, oder?

2. Aufgabe - zweiseitiger Signifikanztest
Aufgabe:
Erarbeite Dir selbstständig das Wissen zum zweiseitigen Signifikanztest und berechne folgende Aufgabe:
Bisher kannten 60% der Bevölkerung ein bestimmtes Produkt. Um zu überprüfen, ob sich an diesem Bekanntheitsgrad etwas geändert hat, werden 100 Personen befragt.
a) Von diesen geben nur noch 50 an, dass sie das Produkt kennen. Kann man hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass sich der Bekanntheitsgrad verändert hat?
b) Bei welcher Anzahl von Personen, die angeben, das Produkt zu kennen, kann man mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 0,01 auf eine Veränderung des Bekanntheitsgrades schließen?

Der mir hierzu vorliegende Text ist etwas schwer verständlich. Ich hoffe mir kann irgendwie jemand sagen was ich hier nun genau tun muss. Bzw. ob mein Ansatz richtig ist und wie ich dort weiter verfahren muss.
Ich nehme hier eine Binomialverteilung mit n=100 und p=0,6. Als Nullhypothese habe ich jetzt hier genommen $\begin{eqnarray*} H_0 : p = 0,6 \end{eqnarray*}$ und als Gegenhypothese dementsprechend $\begin{eqnarray*} H_1 : p \neq 0,6 \end{eqnarray*}$ , als Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,05 \end{eqnarray*}$
Laut meinen Kenntnissen muss man nun $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen um die Grenzen für den Annahmebereich bzw. für die Ablehnungsbereiche zu berechnen. Laut meiner Binomialverteilung befindet sich der Wert für $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2}=0,025 \end{eqnarray*}$ zwischen 52 und 53, wobei ich denke das 53 noch im Annahmebereich liegt und 52 im Ablehnungsbereich. Für die obere Grenze muss ich dann ja $\begin{eqnarray*} 1-\frac{\alpha}{2}=0,975 \end{eqnarray*}$ nehmen. Laut meiner Verteilung liegt der Wert zwischen 68 und 69, weshalb ich wieder die 68 dem Annahmebereich und die 69 dem Ablehnungsbereich zuordnen würde. Demnach würde ich bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit dann die Nullhypothese ablehnen, da der Unterschied der 50 für 60% signifikant ist?!
Bei b käme ich dann mit der geänderten Irrtumswahrscheinlichkeit auf einen Annahmebereich von 47 - 71 da 0,005 zwischen 46 & 47 und 0,995 zwischen 71 & 72 liegt. Das heißt zur Beantwortung brauche ich das Ergebnis ja nur noch umzukehren so dass ich auf Veränderung schließen kann, wenn weniger als 47 oder mehr als 71 Personen angeben das Produkt zu kennen.

Gruß und schon mal Dank im Vorraus
Nils aka FunDancerBhv

Anmerkung: Editiert um das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ in den Latex Formeln auch für Firefox Leser erkennbar zu machen. Vielen Dank für den Hinweis an Arthur Dent

16.01.2005, 23:44

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RE: Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest
Ein Hinweis an den Fragesteller:

Der LaTeX-Code ist von Sonderzeichen außerhalb des 7Bit-ASCII-Alphabets frei zu halten - ansonsten können Benutzer des Firefox-Browsers die Formeln nicht lesen. Beispiel:

Zitat:

Original von FunDancerBhv
$\begin{eqnarray*} X*= \frac{X-µ}{s} \end{eqnarray*}$

Das µ hat in der LaTeX-Formel nichts zu suchen - der korrekte LaTeX-Code dafür ist \mu, also:

$\begin{eqnarray*} X^*= \frac{X-\mu}{s} \end{eqnarray*}$

Da ohne solche Änderungen dein Beitrag schlicht unlesbar ist, werde ich mich solange inhaltlich mit ihm auch nicht befassen, da musst du allein auf die Internet-Explorer-Nutzer vertrauen. Wink

17.01.2005, 10:19

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RE: Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest
Entschuldigung FunDancerBhv, dass du gleich bei deinem ersten Posting ( Willkommen

) mit einer so harschen LaTeX-Kritik hier von mir empfangen wurdest. Aber das angesprochene Problem hat mich eben schon oft hier im Forum geplagt, und so musstest du es ungerechterweise ausbaden.

Aber zur "Belohnung" antworte ich dir auch relativ rasch:

Zitat:

Original von FunDancerBhv
$\begin{eqnarray*} E(X)= \sum_{i=1}^n~x_i * P(X=x_i)= \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (-2)*0,1+(-1)*0,2+0*0,2+1*0,3+2*0,1+3*0,1=0,4 \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von FunDancerBhv
und für die Varianz:
$\begin{eqnarray*} V(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n~x_i^2-\mu^2= \sigma^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6} [((-2)^2-0,4^2)+((-1)^2-0,4^2)+(0^2-0,4^2)+(1^2-0,4^2)+(2^2-0,4^2)+(3^2-0,4^2)]=2,92666 \end{eqnarray*}$

Falsch - die richtige Formel ist

$\begin{eqnarray*} V(X) = \sigma^2 = \left(\sum_{i=1}^n~x_i^2 * P(X=x_i)\right)-\mu^2 \end{eqnarray*}$

Deine Rechnung ist nur für die Gleichverteilung $\begin{eqnarray*} P(X=x_1) = P(X=x_2) =\ldots= P(X=x_n) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ richtig.

b) kannst du als Kontrolle für a) nutzen: Die Standardisierung ist ja gerade so ausgelegt, dass E(X*)=0 und V(X*)=1 herauskommen muss !

Zur 2.Aufgabe:

Zitat:

Original von FunDancerBhv
Ich nehme hier eine Binomialverteilung mit n=100 und p=0,6. Als Nullhypothese habe ich jetzt hier genommen $\begin{eqnarray*} H_0 : p = 0,6 \end{eqnarray*}$ und als Gegenhypothese dementsprechend $\begin{eqnarray*} H_1 : p \neq 0,6 \end{eqnarray*}$ , als Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,05 \end{eqnarray*}$
Laut meinen Kenntnissen muss man nun $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen um die Grenzen für den Annahmebereich bzw. für die Ablehnungsbereiche zu berechnen. Laut meiner Binomialverteilung befindet sich der Wert für $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2}=0,025 \end{eqnarray*}$ zwischen 52 und 53, wobei ich denke das 53 noch im Annahmebereich liegt und 52 im Ablehnungsbereich. Für die obere Grenze muss ich dann ja $\begin{eqnarray*} 1-\frac{\alpha}{2}=0,975 \end{eqnarray*}$ nehmen. Laut meiner Verteilung liegt der Wert zwischen 68 und 69, weshalb ich wieder die 68 dem Annahmebereich und die 69 dem Ablehnungsbereich zuordnen würde. Demnach würde ich bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit dann die Nullhypothese ablehnen, da der Unterschied der 50 für 60% signifikant ist?!
Bei b käme ich dann mit der geänderten Irrtumswahrscheinlichkeit auf einen Annahmebereich von 47 - 71 da 0,005 zwischen 46 & 47 und 0,995 zwischen 71 & 72 liegt. Das heißt zur Beantwortung brauche ich das Ergebnis ja nur noch umzukehren so dass ich auf Veränderung schließen kann, wenn weniger als 47 oder mehr als 71 Personen angeben das Produkt zu kennen.

Alles völlig richtig! Falls das deine ersten Erfahrungen mit Tests sind, dann hast du das bravourös gemeistert. Freude

Nur noch ein paar generelle Anmerkungen zu 2:

Solche Aufgaben wie 2. werden auch sehr oft über die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (gerechtfertigt über den Zentralen Grenzwertsatz) gelöst, aber die direkte Variante ist tatsächlich vorzuziehen. Eine Auffassung, die sich mit der verbesserten Rechentechnik der letzten Jahre und Jahrzehnte mehr und mehr durchgesetzt hat: Bis in die 60er/70er Jahre hinein wurde sowas sogar fast ausschließlich über die Normalverteilungsnäherung ausgerechnet, weil die Summation der Binomialverteilungswahrscheinlichkeiten elend aufwändig sein kann, sofern keine Tabellen vorliegen. Wenn bei dir z.B. n=173 und p=0.635 gewesen wäre, hättest du vielleicht auch "alt" ausgesehen... Augenzwinkern

Aber mit Rechentechnik ist das kein Problem mehr.

17.01.2005, 12:02

FunDancerBhv

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RE: Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn bei dir z.B. n=173 und p=0.635 gewesen wäre, hättest du vielleicht auch "alt" ausgesehen... Augenzwinkern

Das wäre bei mir auch da kein Problem gewesen, da ich für eben jene Verteilungen, eine Excel-Tabelle habe, bei denen ich die Werte mit Schiebereglern auf die für mich benötigten Werte einstellen kann. Falls du diese ebenfalls haben möchtest schreib mir doch einfach ne kurze PN oder Mail ([email protected]).

Übrigens vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Gruß
Nils

17.01.2005, 12:13

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RE: Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest

Zitat:

Original von FunDancerBhv
Das wäre bei mir auch da kein Problem gewesen, da ich für eben jene Verteilungen, eine Excel-Tabelle habe, bei denen ich die Werte mit Schiebereglern auf die für mich benötigten Werte einstellen kann. Falls du diese ebenfalls haben möchtest schreib mir doch einfach ne kurze PN oder Mail ([email protected]).

Genau das meinte ich mit verfügbarer Rechentechnik. Augenzwinkern

Danke für das Angebot, aber ich betreibe Statistik lieber mit professionellen Tools wie S-Plus. Excel geht allzu schnell die Puste aus, wenn die Fakultäten etwas größer werden (natürlich kann man dem mit eigener intelligenter rekursiver Feld- oder Makroprogrammierung entgegen wirken). Die eingebauten Funktionen zur Binomialverteilung sind jedenfalls ein Witz - bei Werten von n größer 1000 (oder schon eher) geht denen die Puste aus und sie liefern nur noch numerische Fehler zurück. Kotzen

17.01.2005, 13:03

FunDancerBhv

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RE: Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest

Zitat:

Original von Arthur Dent
Danke für das Angebot, aber ich betreibe Statistik lieber mit professionellen Tools wie S-Plus.

Was ist dieses S-Plus und wo kann man es her bekommen? Ist es kostenlos oder wieviel muss man dafür zahlen?

Gruß
Nils

17.01.2005, 17:10

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RE: Probleme mit der standardisierten Zufallsvariable und dem zweiseitigen Signifikanztest
SPlus kostet, glaube ich, schon in der einfachsten Studenten-Version mehrere Hundert Euro. Es gibt allerdings eine Freeware-Alternative mit fast gleichem Leistungsumfang, aber spartanischer Oberfläche, nennt sich schlicht und einfach "R":

http://www.r-project.org/

Würde ich für Einsteiger aber nicht empfehlen, eher für Statistik-Profis (wie ich einer bin Big Laugh

).

Wenn du sowas wie Statistikprogramme wirklich brauchst, musst du dich mal umschauen (Google hilft). Die Hersteller bieten oft Demoversionen zum Schnuppern an, zwar meist deutlich begrenzt im Umfang der Datensätze, usw., genügt aber vielleicht, um einen Eindruck zu kriegen. Um Statistik zu betreiben, ist aber jedenfalls fast alles am Markt besser geeignet als Excel.

(Werner wird mich jetzt vielleicht für diese letzte Aussage schlagen Forum Kloppe

, ich kann's aber verkraften. Augenzwinkern

)

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