Zweireihen

05.06.2007, 10:11

Fred Perry

Zweireihen

So viele Aufgaben - so wenig Zeit.
Ich brauche dringend ein paar Tipps:

A1: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nS_n}{n!},~S_n:=\sum_{k=1}^nk^3 \end{eqnarray*}$

A2: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{n}{(1+2x)(1+3x)\cdots(1+nx)},~x>0 \end{eqnarray*}$

Die Konvergenz der beiden Reihen hab ich bewiesen.
Es sind aber auch die Reihenwerte zu berechnen und da seh ich leider kein Land.

05.06.2007, 10:15

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 10:38

Fred Perry

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist wohl wahr - nur seh ich nicht wie ich damit weiterkomme, denn auch der Wert von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nn(n+1)^2}{4(n-1)!} \end{eqnarray*}$

ist für mich nicht offensichtlich.

05.06.2007, 10:58

Fred Perry

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RE: Zweireihen
Anscheinend gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nS_n}{n!}=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{n}{(1+2x)(1+3x)\cdots(1+nx)}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 11:04

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RE: Zweireihen
Zu A1) Versuche eine Art "Partialbruchzerlegung"

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)^2}{(n-1)!} = \frac{A}{(n-1)!} + \frac{B}{(n-2)!} + \frac{C}{(n-3)!} + \frac{D}{(n-4)!} \end{eqnarray*}$

Das kann hier sehr gut rekursiv erfolgen, durch Abspaltung der entsprechenden Faktoren (Polynomdivision):

$\begin{eqnarray*} n(n+1)^2 = n^3+2n^2+n = (n-1)(n^2+3n+4)+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^2+3n+4 = (n-2)(n+5)+14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n+5 = (n-3)+8 \end{eqnarray*}$

Das ergibt für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)^2}{(n-1)!} = \frac{4}{(n-1)!} + \frac{14}{(n-2)!} + \frac{8}{(n-3)!} + \frac{1}{(n-4)!} \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du dann den Reihenwert unter Einsatz der Exponentialreihe bestimmen.

05.06.2007, 12:31

Fred Perry

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RE: Zweireihen

Zitat:

Original von Arthur Dent
Zu A1) Versuche eine Art "Partialbruchzerlegung"

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)^2}{(n-1)!} = \frac{A}{(n-1)!} + \frac{B}{(n-2)!} + \frac{C}{(n-3)!} + \frac{D}{(n-4)!} \end{eqnarray*}$

Das kann hier sehr gut rekursiv erfolgen, durch Abspaltung der entsprechenden Faktoren (Polynomdivision):

$\begin{eqnarray*} n(n+1)^2 = n^3+2n^2+n = (n-1)(n^2+3n+4)+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^2+3n+4 = (n-2)(n+5)+14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n+5 = (n-3)+8 \end{eqnarray*}$

Das ergibt für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)^2}{(n-1)!} = \frac{4}{(n-1)!} + \frac{14}{(n-2)!} + \frac{8}{(n-3)!} + \frac{1}{(n-4)!} \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du dann den Reihenwert unter Einsatz der Exponentialreihe bestimmen.

Jau, dat stimmt!

Und ich erhalte: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nS_n}{n!}=-32+\sum_{n=4}^\infty\frac{(-2)^nS_n}{n!}=-32+\frac{2e^2-2}{e^2}+\frac{14e^2+14}{e^2}+\frac{16e^2-16}{e^2}+\frac{4}{e^2}=0 \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 15:17

Ruprecht

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RE: Zweireihen
Hier wird folgende Aussage bewiesen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge positiver, reeller Zahlen und $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R, x>0 \end{eqnarray*}$ .

Divergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\left(\prod_{k=1}^n~\frac{a_k}{a_{k+1}+x}\right)=\frac{a_1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\left(\prod_{k=1}^n~\frac{a_k}{a_{k+1}+x}\right)=\frac{a_1}{x}\left(1-\prod_{i=2}^\infty~\frac{a_i}{a_i+x}\right) \end{eqnarray*}$ .

Für die Reihe in A2 wähle nun $\begin{eqnarray*} a_k:=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Damit kommst Du dann zum Reihenwert, den Du ja schon richtig angegeben hast.

05.06.2007, 16:25

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@Ruprecht

Kam mir gleich so bekannt vor ... danke, dass du es rausgesucht hast! Freude

06.06.2007, 17:40

Ruprecht

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Hier ist noch eine Anwendung dieser Geschichte:

Setze $\begin{eqnarray*} a_k:=k^2 \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{\left( (n-1)!\right)^2}{(x^2+2^2)(x^2+3^2) \cdots (x^2+n^2)} = \frac{1}{x^2} \left(1-\prod_{n=2}^\infty \frac{1}{1+\left( \frac{x}{n} \right)^2}\right)=\frac{1}{x^2} \left(1-\frac{\pi x(x^2+1)}{\sinh(\pi x)}\right) \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^\infty\left(1+\left( \frac{x}{n} \right)^2\right)=\frac{\sinh(\pi x)}{\pi x} \end{eqnarray*}$

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