Rotationskörper

05.06.2007, 14:53

FunkyHomosapien

Rotationskörper

Erstmal ein riesen Lob an die Betreiber der Seite und an alle, die sich hier engagieren.

Mein mathematisches Problem sind die Rotationskörper.

Wenn die sich um die x-Achse drehen, kann ich es einigermaßen. Aber bei der y-Achse fehlt mir noch das Aha Erlebnis. Würde mich freuden, wenn mich jemand erhellen könnte.

Beispiel:

f(x)= x²+1 ---->steht unter der Wurzel
&
y=2

schließen eine Fläche ein.

Muss jetzt EXAKT berechnen, d.h. per Hand ohne Taschenrechner.

peace und thx

05.06.2007, 14:56

klarsoweit

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RE: Rotationskörper
Du meinst vermutlich, daß $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall [0; 2] um die y-Ache rotiert. Bilde dazu die Umkehrfunktoin und laß diese um die x-Achse rotieren.

05.06.2007, 15:06

FunkyHomosapien

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RE: Rotationskörper

Zitat:

Original von klarsoweit
Du meinst vermutlich, daß $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall [0; 2] um die y-Ache rotiert. Bilde dazu die Umkehrfunktoin und laß diese um die x-Achse rotieren.

nein das intervall ist glaube ich falsch. wenn es so wäre wie du es sagst, müsste doch x=2 stehen und nicht y=2.

Ja Umkehrfunktion, genau das ist ja mein Problem. Muss ich das unter der Wurzel nach x² auflösen und dann in die allgemeine x-Achsen Formel einsetzen?

05.06.2007, 15:09

brain man

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Nein für die y-Achsnerotation ist die Gleichung :

$\begin{eqnarray*} V_{K}= \pi * \int_{f(b)}^{f(a)}~f^{-1}(x)^2~dx \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 15:14

FunkyHomosapien

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Zitat:

Original von brain man
Nein für die y-Achsnerotation ist die Gleichung :

$\begin{eqnarray*} V_{K}= \pi * \int_{f(b)}^{f(a)}~f^{-1}(x)^2~dx \end{eqnarray*}$

ich kann mit dem hoch minus 1 leider nichts anfangen. was bedeutet das?

05.06.2007, 15:16

brain man

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Zitat:

Original von FunkyHomosapien
ich kann mit dem hoch minus 1 leider nichts anfangen. was bedeutet das?

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

05.06.2007, 15:18

FunkyHomosapien

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Zitat:

Original von brain man

Zitat:

Original von FunkyHomosapien
ich kann mit dem hoch minus 1 leider nichts anfangen. was bedeutet das?

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

hehe. umkehrfunktion?
beispiel.

f(x)= 3x²

was ist dann die umkehrfunktion?

05.06.2007, 15:20

brain man

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Zitat:

Original von FunkyHomosapien
hehe. umkehrfunktion?
beispiel.

f(x)= 3x²

was ist dann die umkehrfunktion?

$\begin{eqnarray*} f(x)= 3x² \end{eqnarray*}$ x und y vertauschen und nach y auflösen und dann

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ vorsetzen ( Klasse 8 - Klingelt´s? ).

05.06.2007, 15:24

FunkyHomosapien

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mhh nicht wirklich. also umtauschen?!

ist das ergebnis dann

x=3y in der wurzel?

05.06.2007, 15:29

brain man

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Zitat:

Original von FunkyHomosapien
mhh nicht wirklich. also umtauschen?!

ist das ergebnis dann

x=3y in der wurzel?

Nein.

$\begin{eqnarray*} y=3x^2 \end{eqnarray*}$ sei gegeben. Bestimmung der Umkehrfunktion :

$\begin{eqnarray*} x=3y^2 \end{eqnarray*}$ Umformen nach y

...

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=... \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 15:32

FunkyHomosapien

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ich gebe auf.

trotzdem vielen dank.

05.06.2007, 15:37

brain man

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Damit das Ganze nicht an einer Umkehrfkt. scheitert ( diese ist ja nur sekundär wichtig ): Diese lautet :

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x}{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannste weiterrechnen.

05.06.2007, 15:40

klarsoweit

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RE: Rotationskörper

Zitat:

Original von FunkyHomosapien
nein das intervall ist glaube ich falsch. wenn es so wäre wie du es sagst, müsste doch x=2 stehen und nicht y=2.

Stimmt. Also brauchen wir das Intervall [0; Wurzel(3)]. Die Umkehrfunktion läuft dann auf dem Intervall [0; 2].

Zitat:

Original von FunkyHomosapien
Muss ich das unter der Wurzel nach x² auflösen und dann in die allgemeine x-Achsen Formel einsetzen?

Im Prinzip ja, aber genau genommen mußt du nach x auflösen.

05.06.2007, 15:58

FunkyHomosapien

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Zitat:

Original von brain man
Damit das Ganze nicht an einer Umkehrfkt. scheitert ( diese ist ja nur sekundär wichtig ): Diese lautet :

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x}{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannste weiterrechnen.

ne das weiterrechnen kann ich eigentlich immer. ich versteh das mit dem umformen nicht.
mit diesem hoch minus eins kann ich nichts anfangen. ist die aussage richtig, dass ich immer nach x auflösen muss?

05.06.2007, 16:00

Funkyhomosapien

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RE: Rotationskörper

Zitat:

Im Prinzip ja, aber genau genommen mußt du nach x auflösen.

also nach x auflösen und in die x-formel einfügen?

05.06.2007, 16:03

klarsoweit

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RE: Rotationskörper
Ja und zwar die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ nach x auflösen, dann die Variablen x und y vertauschen und das dann in die Formel $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int~(y(x))^2~dx \end{eqnarray*}$ einsetzen.

05.06.2007, 16:16

funkyhomosapien

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RE: Rotationskörper

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja und zwar die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ nach x auflösen, dann die Variablen x und y vertauschen und das dann in die Formel $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int~(y(x))^2~dx \end{eqnarray*}$ einsetzen.

ok ich weiss mir fehlen grundlegende mathematische kentnisse.

wenn ich die gesamte gleichung mit dem unter der wurzel multipliziere, fällt die wurzel weg, oder?

05.06.2007, 18:09

klarsoweit

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RE: Rotationskörper
Nein, du quadrierst einfach die Gleichung.

07.06.2007, 19:25

funkyhomosapien

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RE: Rotationskörper
boahh klar. danke für deine geduld.

07.06.2007, 20:23

Leopold

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Es sei $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ differenzierbar und streng monoton mit $\begin{eqnarray*} \alpha = f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = f(b) \end{eqnarray*}$ . Rotiert nun der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse, so bekommt man mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \, , \ \ \mathrm{d}y = f'(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

eine Variante der Formel für das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ des Rotationskörpers:

$\begin{eqnarray*} V = \left| \pi \int_{\alpha}^{\beta}~\left[ f^{-1}(y) \right]^2~\mathrm{d}y \right| = \left| \pi \int_a^b~\left[ f^{-1}\left( f(x) \right) \right]^2 f'(x)~\mathrm{d}x \right| = \left| \pi \int_a^b~x^2 f'(x)~\mathrm{d}x \right| \end{eqnarray*}$

Die Betragsstriche braucht man für den Fall, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton fällt. Übrigens könnte man das letzte Integral mittels partieller Integration (man starte mit der Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ) weiter transformieren.

Im konkreten Fall ist die Berechnung über die Umkehrfunktion allerdings leichter als die Berechnung mit der obigen Formel.

10.06.2007, 13:49

FunkyHomosapien

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Grenzwerte, y-Achse und der nie endende Alptraum der Mathematik
so da morgen wieder die schule anfängt und ich ne klausur schreibe, habe ich mich an diesem sonntag wieder mal hingesetzt.

die aufgabe ist immernoch die gleiche:

f(x) = x² + 1 -----------------> unter der Wurzel

&

y = 2

schließen eine geseinsame Fläche ein, die sich um die y- Achse dreht.

Mein Ansatz:

V = pi Integral a bis b x²

Aus der Umkehrfunktion bekomme ich für f(x) wenn ich sie nach x² auflöse :

x² = y² - 1

So wie bestimme ich jetzt die Grenzwerte RECHNERISCH. Glaube aus der Zeichung lesen zu können, dass sie auf der y- Achse von 1 bis 2 gehn, bin mir aber nicht sicher.

Aber ich versucht mit diesen Grenzwerten weiterzurechnen:

V = pi Integral von 1 bis 2 y² - 1 dy

Jetzt die Stammfunktion bestimmen (?):

V= pi [ 1/3 y³ - 1x] von 1 bis 2

Jetzt komm ich nicht mehr weiter.

10.06.2007, 14:00

klarsoweit

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RE: Grenzwerte, y-Achse und der nie endende Alptraum der Mathematik

Zitat:

Original von FunkyHomosapien
Jetzt die Stammfunktion bestimmen (?):

V= pi [ 1/3 y³ - 1x] von 1 bis 2

Da deine Integrationsvariable y ist, ist eine Stammfunktion von 1 nicht x, sondern y. Und jetzt brauchst du nur deine Grenzen einsetzen.

Und bitte Latex verwenden. Du brauchst doch nur bei einem Beitrag auf Zitat klicken und du bekommst den Code frei haus.

10.06.2007, 14:14

Funkyhomosapien

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ok also so in etwa: hoffentlich klappts:

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot 1/3y³ - 1y /cdot dx \end{eqnarray*}$

also sind die grenzwerte richtig? wie kann ich diese rechnerisch bestimmen.

thx für deine schnellen antworten. Freude

10.06.2007, 14:15

funkyhomosapien

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$\begin{eqnarray*} \pi 1/3y³ - 1y dx \end{eqnarray*}$

10.06.2007, 14:28

klarsoweit

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Was soll denn das jetzt? verwirrt

1. ist deine Integrationsvariable y und nicht x.
2. hast du deine Stammfunktion gebildet, dadurch wird die Integrationsvariable überflüssig.
3. mußt du an deine Stammfunktion Grenzen dranschreiben.
4. Klammern fehlen.

So muß das aussehen:
$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int_1^2~(y^2-1)~dy = \pi \cdot [\frac{y^3}{3} - y]_1^2 \end{eqnarray*}$

Die Grenzen ergeben sich aus der Wertemenge der Funktion $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ , wobei y ja maximal 2 sein sollte. Bei x=0 bzw. y=1 hat die Funktion ihren kleinsten Wert.

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