alternierende geometrische Reihe

16.01.2005, 23:10	Mr.Floppy	Auf diesen Beitrag antworten »
alternierende geometrische Reihe Hallo, ich hab da leider eine kleine Wissenslücke. Ich will folgende Summe ausrechnen. $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{2^n} \end{eqnarray}$ Jetzt hatte ich das erst so vor, dass ich die aufspalte für n = gerade und n = ungerade, dann die ungerade von der geraden abziehe... Sprich: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n}} - \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n+1}} \end{eqnarray}$ Weils ja ne geometrische Reihe ist (oder?), hab ich das dann in die Bildungsvorschrift umgewandelt und den limes gegen unendlich ausgerechnet. Dummerweise hab ich für die erste -2 und für die zweite -3/2 rausbekommen, das Ergebnis der gesamten Aufgbe wäre somit -1/2. Jetzt heisst es aber, dass das eine alternierende geometrische Reihe ist, dessen Grenzwert mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ zu bestimmen sei. In diesem Falle also $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ So, das scheint mir als Ergebnis schonmal richtiger, aber warum geht denn meine Methode nicht und woher bekomme ich die 1/2 für das x? Ist das einfach das 1/2 aus der ursprünglichen Form ohne Exponenten und ohne (-1), weil das halt eine typische Form der alternierenden geometrischen Reihe ist? Diese ist mir leider gänzlich als solche unbekannt und bei google hab ich auch nichts brauchbares gefunden. Erstmal vielen Dank und sorry für den langen Text!
16.01.2005, 23:22	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast nicht richtig gerechnet, wie kommst du auf -2 und -3/2 ?
17.01.2005, 01:00	Mr.Floppy	Auf diesen Beitrag antworten »
hui, du hast vollkommen Recht. Irgendwie bin ich noch unsicher, was die geometrischen Reihen angeht. Liege ich richtig, wenn ich $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} s_{n}=a_{1}\frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray}$ "umrechne" bzw. die Bildungsvrschrift bilde? Ich weiss nur leider nicht genau, was dann mein q ist. $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n}} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1-{(\frac{1}{2^2}})^n}{1-\frac{1}{2^2}} = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?? Leider weiss ich nicht genau, was ich bei $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n+1}} \end{eqnarray}$ machen muss. Wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand das vorrechnen oder sagen könnte, was ich da für q einsetzen muss... Wenn ichs bei der 2. so mache wie bei der ersten, kommt 8/7 raus, was ja irgendwie nicht richtig sein kann... Weiterhin würde mich sehr interessieren, was es nun mit \frax{1}{1+x} für den grenzwert für alternierende geometrische Reihen auf sich hat...
17.01.2005, 11:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: alternierende geometrische Reihe ähh, ich hätte mal ne Frage. Meines Wissens gilt doch folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{(-1)^k}{2^k} = (-0,5)^k \end{eqnarray}$ und für jedes q ungleich 1: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \end{eqnarray}$ für -1 < q < 1 geht q^n gegen Null bei n gegen unendlich. Also ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~q^k = \frac{1}{1 - q} \end{eqnarray}$ im speziellen Fall für q = -0,5 ist die Summe also 2/3. Wieso da $\begin{eqnarray} \frac{1}{1 + x} \end{eqnarray}$ rauskommen soll und wofür das x steht, kann ich nicht sagen.

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