Stammfunktion eines uneigentlichen Integrals

05.06.2007, 21:14

Sonnenschein1987

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Stammfunktion eines uneigentlichen Integrals

Hallo!

Folgendes Integral ist gesucht:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} ~dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass das ein uneigentliches Integral ist, aber erstmal brauch ich wohl die Stammfunktion.

Hab mir überlegt, dass ich substituieren kann: $\begin{eqnarray*} x = sin(u) \end{eqnarray*}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray*} dx=du*\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ .

Somit käme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{sin^2u}{\sqrt{1-x^2}} ~du*\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Geht das so, oder muss ich alle x hinter dem Integralzeichen substituieren? Wenn ich da jetzt kürze würd ich ja auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~sin^2(u)~du \end{eqnarray*}$ kommen.

1.) Ist das richtig bis jetzt?
2.) Wenn ja, wie finde ich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} sin^2(u) \end{eqnarray*}$ ? Partielle Integration bringt da ja eher nichts, sondern macht das ganze komplizierter, find ich...

05.06.2007, 21:22

Orakel

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RE: Stammfunktion eines uneigentlichen Integrals
die substitution ist bis auf die transformation der grenzen richtig

das integral

$\begin{eqnarray*} \int\sin^2(x)\ dx \end{eqnarray*}$

kannst du mittels partieller integration lösen, indem du das theorem

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

benutzst! (nach der partiellen integration)!!!

05.06.2007, 21:35

Sonnenschein1987

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RE: Stammfunktion eines uneigentlichen Integrals
Ok, das mit den Grenzen stimmt.

Nach der partiellen Integration habe ich doch dann

$\begin{eqnarray*} -cos(u)*sin(u)-\int_{u(0)}^{u(1)}~cos(u)*sin(u)~du \end{eqnarray*}$

Wie soll ich da jetzt das o.g. Theorem anwenden`? Könnte das ja umstellen zu $\begin{eqnarray*} cos(u) = \sqrt{1-sin^2(u)} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sin(u) = \sqrt{1-cos^2(u)} \end{eqnarray*}$ , aber bringt mich das weiter?

05.06.2007, 21:39

Orakel

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RE: Stammfunktion eines uneigentlichen Integrals
partielle integration ergibt

$\begin{eqnarray*} \int\sin^2 x\ dx=-\sin x\cos x+\int\cos^2 x\ dx \end{eqnarray*}$

man setze also $\begin{eqnarray*} u'(x)=\sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=\sin x \end{eqnarray*}$ . jetzt kannst du auf das verbliebene integral das theorem anwenden!

05.06.2007, 21:47

Sonnenschein1987

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Aja, da hatte ich mich vertan.

Wenn ich jetzt das Theorem anwende erhalte ich dieses:
$\begin{eqnarray*} -cos(u)*sin(u)+\int_{u(0)}^{u(1)}~1-sin^2(u)~du \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt integriere, erhalte ich für die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hinter dem Integralzeichen ein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Was aber für das $\begin{eqnarray*} sin^2(u) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist ja jetzt wieder dasselbe Problem, wie vorher als ich nur $\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(1)}~sin^2(u)~du \end{eqnarray*}$ hatte verwirrt

verwirrt

?

05.06.2007, 21:49

Orakel

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schau mal, das integral mit $\begin{eqnarray*} \sin^2 u \end{eqnarray*}$ kannst du wieder auf die linke seite bringen und dann teilst du die ganze gleichung durch 2!

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05.06.2007, 22:14

Sonnenschein1987

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Sowas ist mir ganz neu, aber ich probier es mal:

$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(1)}~sin²u~du = -cos(u)*sin(u)+\int_{u(0)}^{u(1)}~1-sin^2u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{u(0)}^{u(1)}~sin²u~du = -cos(u)*sin(u)+\int_{u(0)}^{u(1)}~1~-\int_{u(0)}^{u(1)}~sin^2u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2\int_{u(0)}^{u(1)}~sin²u~du =-cos(u)*sin(u)+\int_{u(0)}^{u(1)}~1~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{u(0)}^{u(1)}~sin²u~du = [0,5(x-x*cos(arcsin(x)))]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Richtig?
Kann ich das mit dem $\begin{eqnarray*} cos(arcsin(x)) \end{eqnarray*}$ noch vereinfachen?

Um die Ausrechnung kümmere ich mich spätestens Donnerstag...

Würd aber alleine auf die Stammfunktion niemals alleine (in einer Klausur kommen) traurig

traurig

.

05.06.2007, 22:16

Orakel

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ich würde an deiner stelle nicht zurücksubstituieren, sondern u(0) und u(1) berechnen. das ist einfacher!!!

05.06.2007, 22:17

Orakel

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achso: bei dem term

$\begin{eqnarray*} -\cos u\sin u \end{eqnarray*}$

musst du natürlich auch die grenzen einsetzen!

05.06.2007, 22:34

Sonnenschein1987

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Den letzten Post verstehe ich nicht. Hab ich jetzt bisher was falsch gemacht?

05.06.2007, 22:37

Orakel

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ja, wenn du bestimmt integrierst, musst du bei der partiellen integration den ersten term auf der rechten seite bei u(0) und u(1) auswerten, also

$\begin{eqnarray*} -\cos u\sin u\Big|_{u(0)}^{u(1)} \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 22:40

Sonnenschein1987

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Ich verstehe nicht, was du mir sagen willst. Ich habe doch noch gar keine Grenzen eingesetzt :-(. Das $\begin{eqnarray*} -cos(u)*sin(u) \end{eqnarray*}$ stammt doch vom ersten Teil (also u*v) der partiellen Integration... Es muss doch dann nur das was hinter dem Integralzeichen steht integriert werden (also u'*v)...

05.06.2007, 22:43

Orakel

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richtigerweise lautet die partielle integration so:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}\sin^2 u\ du=-\cos u\sin u\Big|_{u=0}^{u=\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos^2 u\ du \end{eqnarray*}$

du hast also vergessen, die grenzen an den ersten term auf der rechten seite zu schreiben!

05.06.2007, 22:45

Sonnenschein1987

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Zitat:

Original von Sonnenschein1987

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{u(0)}^{u(1)}~sin²u~du = [0,5(x-x*cos(arcsin(x)))]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Da stehe die Grenzen doch "um alles rum". Ich habe doch da schon rücksubstituiert und einfach die eckigen Klammern mit den Grenzen dran um den ganzen Term geschrieben...

EDIT: Ach du meinst in der Zeile davor?

05.06.2007, 22:47

Orakel

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ok, das stimmt...aber eine zeile zuvor stimmte es eben nicht smile

smile

ich rate dir trotzdem hier nicht zurückzusubstituieren...das muss nicht sein. du kannst ja hier u(0)=0 und u(1)=pi/2 direkt berechnen! smile

smile

falsch ist es aber nicht smile

smile

05.06.2007, 22:51

Orakel

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mir scheint da in deiner rücksubstiotution auch ein rechnfehler zu sein. wie kommst du auf das einzelne x auf der rechten seite?

05.06.2007, 22:52

Sonnenschein1987

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Mir fällt gerade noch ein Fehler auf:

Das muss doch heißen: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{u(0)}^{u(1)}~sin²u~du = [0,5(arcsin(x)-x*cos(arcsin(x)))]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Hatte oben ein arcsin vergessen, oder?!

05.06.2007, 22:54

Sonnenschein1987

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Ja ok, da kam mein Post gerade etwas spät.

Ich überleg mir mal ob ich rücksubstituiere oder nicht.

Ene Frage noch: Kann ich cos(arcsin(x)) noch irgendwie vereinfachen?

05.06.2007, 22:55

Orakel

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so jetzt stimmt es...was lange währt wird endlich gut smile

smile

als ergebnis erhälst du nun pi/4

05.06.2007, 22:56

Orakel

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ja, es gilt

$\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

05.06.2007, 22:58

Sonnenschein1987

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Ok, vielen, vielen Dank für die Hilfe.
Ausrechnen tu ich das heute nicht mehr... Aber danke für den pi/4-Hinweis.

Ich weiß nur noch nicht, wie ich in meiner bald anstehenden Klausur sowas alleine ausrechnen soll :-/´. Ich komm einfach nie auf Vereinfachungen etc :-(.

EDIT: Finde ich die Vereinfachung in einer Formelsammlung? Suche mich schon tot in meiner (Bartsch), aber finde nichts.

05.06.2007, 23:04

Orakel

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na ja, du startest mit der identität

$\begin{eqnarray*} \cos(u)=\sqrt{1-\sin^2(u)} \end{eqnarray*}$

setze jetzt $\begin{eqnarray*} u=\arcsin x \end{eqnarray*}$ .

05.06.2007, 23:07

Sonnenschein1987

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Ok, danke.... Tanzen

Tanzen

07.06.2007, 21:19

Sonnenschein1987

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So, ausgerechnet hab ich es jetzt wohl und sogar auch pi/4 raus.

Ich hab jetzt nur das Problem, dass ich kein uneigentliches Integral mehr hatte.

Das kommt wohl daher, da ich am Anfang den Nenner $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ einfach weggekürzt habe... War das dann wohl falsch?

Die Überschrift der Aufgabe lautet "Berechnen Sie folgende uneigentliche Integrale". Das heißt ja, ich muss irgendwie mit einem Grenzwert arbeiten. Das ist bei mir jetzt aber nicht mehr notwendig...

Bin ich also falsch vorgegangen?

07.06.2007, 21:28

therisen

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Ist ja ganz schön unübersichtlich geworden. Du hast also

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\dd x = \frac12\left(\arcsin(x)-x\sqrt{1-x^2}\right) \end{eqnarray*}$

Die kritische Stelle war 1, also berechne

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1}\frac12\left(\arcsin(x)-x\sqrt{1-x^2}\right) =\frac\pi4 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

07.06.2007, 21:35

Sonnenschein1987

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Ok, also muss ich wohl einfach trotzdem den Grenzwert machen, obwohl es ja eigentlich nicht mehr nötig ist.

Danke!

07.06.2007, 21:40

therisen

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Genau, denn bei formal korrekter Rechnung zieht sich der Limes durch die komplette Rechnung durch bis zur o.g. Stelle. smile

smile

07.06.2007, 21:42

Sonnenschein1987

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Mmhh ok, ich dachte das wäre erst ab Einsetzen der Grenzen so.

Müsste ich dann quasi sofort am Anfang die 1 durch z.B. t ersetzen und dann vor jede Zeile schreiben lim t-->1 ??

07.06.2007, 21:44

therisen

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Genau. Und das ist lästig. Deswegen berechnet man für gewöhnlich erst das unbestimmte Integral und macht dann die Grenzübergänge.

07.06.2007, 21:45

Sonnenschein1987

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Ok, vielen Dank!!

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