Basiswechselmatrix

17.01.2005, 13:36	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechselmatrix Hallöchen! Mal wieder eine Aufgabe, bei der ich auf eure Hilfe angewiesen bin: Zeigen Sie, dass für einen K-Vektorraum der Dimension n und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (a_{ij}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{K} \end{eqnarray}$ (n, n) gilt: (a) Ist A eine Basiswechselmatrix so gibt es ein B = (bij) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{K} \end{eqnarray}$ (n, n) mit $\begin{eqnarray} \sum_{j}~a_{ij} b_{jk} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \delta_{ik} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j}~b_{ij} a_{jk} \end{eqnarray}$ für alle i, k $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {1,...., n}. (b) Die notwendige Bedingung unter (a) für eine Basiswechselmatrix ist auch hinreichend. Danke
18.01.2005, 18:56	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
wie habt ihr denn 'Basiswechselmatrizen' definiert, ich würde darunter verstehen, eine Matrix mit vollem Rang. Die zweite Bedingung heisst nur, das A invertierbar ist. B ist das Inverse, die erste Summe heisst, AB=I und die zweite BA=I (I ist die Einheitsmatrix) Dann müsste man zeigen : eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat (mit Einträgen aus einem beliebnigen Körper K) Für gegebene Matrix A ist die erste Summe eine lineare Gleichung mit Unbekannten b_jk, diese Gleichung haben wir für alle i,k aus {1,..,n}, also ein lineares Gleichungssystem mit n² Gleichungen. Für k fixiert sind es n Gleichungen, diese sind linear unabhängig genau dann wenn A vollen Rang hat, genau dann gibt es ein eindeutige Lösung für die b_ik (mit k fixiert ist das ein Vektor der B Matrix) Das für alle k und damit haben wir eine eindeutige Matrix B bestimmt. Diese erfüllt bisher aber nur die Gleichung AB=I, mit genau der gleichen Argumentation bekommt man eine Matrix B' mit B'A=I, dann muss man noch zeigen, das dann die Matrizen B und B' gleich sind, indem man den Term B'AB betrachtet.
19.01.2005, 12:04	thealmighty	Auf diesen Beitrag antworten »
also, so wie das da "erklärt" wurde versteh ich auch nur Bahnhof. Wäre nett, wenn das nochmals etwas anschaulicher dargestellt würde!
19.01.2005, 13:26	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fand das schon sehr hilfreich erklärt. Aber ich will es gerne nochmal anders notieren: A ist eine Basiswechselmatrix, d.h. wenn $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{K}^{n \times n} \end{eqnarray}$ , so ist n der Rang von A. Die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{j = 1}^{n} a_{ij}b{jk} = \delta_{ik} = \sum_{j=1}^{n} b_{ij}a_{jk} \end{eqnarray}$ ist nichts anderes als die Definition der Matrixmultiplikation in der Komponente (i, k). D.h. man kann die Bedingung auch umformulieren: Ist A eine Basiswechselmatrix, so existiert eine Basiswechselmatrix B, so dass gilt: AB = BA = I I ist die Einheitsmatrix und * bezeichnet die Matrixmultiplikation. Nun ist klar, dass die gesuchte Matrix B die Inverse von A sein muss. Du sollst also zeigen: Jede Basiswechselmatrix ist eindeutig invertierbar. Wir bestimmen nun jeden Spaltenvektor aus B, indem wir ein lineares Gleichungssystem lösen. Dafür sei $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ der k-te Spaltenvektor aus B und $\begin{eqnarray} e_k \end{eqnarray}$ der Vektor, der an der k-ten Position eine 1 hat und sonst 0-en. Die k Gleichungssysteme lauten dann: $\begin{eqnarray} A \cdot b_k = e_k, \quad k=1, \ldots, n \end{eqnarray}$ Lässt sich das System eindeutig lösen, so gilt A*B = I. Diese Eindeutigkeit erhält man aus Sätzen über LGS in Verbindung mit dem Rang einer Matrix. Anschaulich betrachtet versucht man, die Vektoren der Standardbasis durch Linearkombination der Spaltenvektoren aus A zu erhalten. Die Koeffizienten, die dabei entstehen bilden eine Koordinatenspalte, welche ein Spaltenvektor aus B ist.
19.01.2005, 16:40	thealmighty	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh, jetzt wird klarer!!! allerdings kam in unseren Vorlesungen bislang noch nichts mit Rang dran! wird vielleicht noch nachgeholt!

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