Basen

17.01.2005, 13:54

Fliege

Basen

es sei folgende aufgabe grundlage:

sei f:R^4->R^5 die lineare Abbildung mit

(3 1 -2 2)
(-2 -2 7 -3)
f(x)= (4 0 3 1) *x.
(1 3 12 4)
(0 4 -17 5)
Sei A die Standardbasis von R^4 und B die Standardbasis von R^5.

sei ferner A'={(1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,01 1),(0,0,0,1)} und
B'= {(1,0,0,0,0),(1,1,0,0,0),(-1,0,1,0,0),(1,0,0,1,0),(1,0,0,0,1)}.

jetzt ist zu zeigen, dass A' eine basis von R^4 und B' eine Basis von R^5 ist.

meine überlegung:
man spricht ja dann von einer basis, wenn das erzeugendensystem linear unabhängig ist.
da die beiden nicht linearkombinierbar sind, sind es basen von jeweils R^4 und R^5.
reicht das aus? bzw. ist die überlegung überhaupt richtig?

17.01.2005, 14:32

klarsoweit

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RE: Basen

Zitat:

Original von Fliege
meine überlegung:
man spricht ja dann von einer basis, wenn das erzeugendensystem linear unabhängig ist.
da die beiden nicht linearkombinierbar sind, sind es basen von jeweils R^4 und R^5.

im Prinzip richtig, nur wie hast du gezeigt, dass die Vektoren nicht linearkombinierbar sind?

17.01.2005, 14:39

Fliege

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na laut definition:

für A':

0= (1,1,0,0)r+(0,1,1,0)s+(0,0,1,1)t+(0,0,0,1)u wobei r,s,t,u aus IR sind.

daraus folgt, dass r,s,t,u=0 sind und somit linear unabhängig. und somit basis von IR^4. und das gleiche auch für B'

17.01.2005, 14:48

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ok, A' und B' sind also erstmal linear unabhängig. Damit sie auch Basen sind, müssen sie den R^4 bzw. R^5 erzeugen. Das liegt aber auf der Hand, da die Dimension gleich ist.

17.01.2005, 14:50

Fliege

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RE: Basen
wie bestimme ich die dimension oder reicht es, wenn ich diesen satz darunter schreibe?

17.01.2005, 15:12

Fliege

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wie man eine dimension bestimmt, hat sich erledigt.

in der aufgabe sei ja A die standardbasis von IR^4, B standardbasis von IR^5
wie bestimme ich nun:

wie schreibe ich das am dümmsten: A und B stehen übereinander!

M A B f(x).

wie bestimme ich jetzt die standardbasis, die ich ja nun zum berechnen brauche?

18.01.2005, 09:57

klarsoweit

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ähh, verstehe ich jetzt nicht. Standardbasis von R^n sind doch die Vektoren (1,0,....,0), (0,1,0,....0) usw.
für die Latexdarstellung hätte ich folgenden Vorschlag:
$\begin{eqnarray*} {M_A}^B f(x) \end{eqnarray*}$

18.01.2005, 11:11

Fliege

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ich probiers nochmal mit latex:

sei $\begin{eqnarray*} f:R^{4}->R^{5} \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung mit
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 12 & 4 \\ 0 & 4 & -17 & 5 \end{pmatrix} *x \end{eqnarray*}$

Sei A die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} R^{4} \end{eqnarray*}$
und B die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} R^{5} \end{eqnarray*}$ .

man bestimme
$\begin{eqnarray*} M^A_B(f) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M^C_B(f) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M^A_D(f) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M^C_D(f) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} C= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

meine frage nun: wie bekomme ich A und B, also die standardbasen und wie berechne ich M?

18.01.2005, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fliege
meine frage nun: wie bekomme ich A und B, also die standardbasen und wie berechne ich M?

also nochmal: Die Standardbasen bekommt man nicht, die sind schlicht und ergreifend da. Da du mir nicht glaubst, schreibe ich sie für R^4 hin:
$\begin{eqnarray*} A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
Bezüglich der Basen A und B steht die Abbildungsmatrix schon da. Das ist nämlich genau die Matrix, mit der die Abbildung f definiert ist.
Ich kann mich irren, aber ich meine, man schreibt die Ausgangsbasis unten hin und die Zielbasis oben hin: $\begin{eqnarray*} M^B_A(f) \end{eqnarray*}$

Jetzt das ganze mit der Basis C und Basis B.
Man nimmt den 1. Vektor der Basis C, berechnet das Bild und stellt das in der Basis B dar. Letzteres ist nicht schwer, da B ja die Standardbasis ist. Das Ergebnis trägt man als Spalte in die Matrix ein. Das wäre für dieses Beispiel:
f((1,1,0,0)) = (4,-4,4,4,4) Und damit ist:
$\begin{eqnarray*} M^B_C(f) = \begin{pmatrix} 4 & ... & ... & ... \\ -4 & ... & ... & ... \\ 4 & ... & ... & ... \\ 4 & ... & ... & ... \\ 4 & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die restlichen Spalten darfst du berechnen.

18.01.2005, 12:21

Fliege

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also ist die standardbasis von R^5:

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ falsch oder?

und wie kommst du bei f(1,1,0,0)= (4,-4,4,4,4)?!?!?

18.01.2005, 13:09

klarsoweit

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nee, eine Basis ist eine Familie oder Menge von Vektoren, die den betreffenden Vektorraum erzeugen und linear unabhängig sind. Was du mit B geschrieben hast ist eine Matrix, aber keine Basis von R^5. Allenfalls kannst du die Spaltenvektoren als (Standard)-Basis hernehmen (bis auf die 4. Spalte.)
f(1,1,0,0) errechnest du, indem du in deine Funktionsgleichung für x einfach (1,1,0,0) einsetzst und diesen mit der Matrix multiplizierst.

18.01.2005, 13:32

Fliege

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ich versteh das nicht. also, wie man matrizen multipliziert, ist klar. aber hier hab ich vektoren... ich kann doch nicht nur einen vektor aus A nehmen und den mit der matrix von f(x) multiplizierten. das ist doch dann nicht $\begin{eqnarray*} M^C_B(f) \end{eqnarray*}$ . kannst du es mal bitte schritt für schritt für ein beispiel aufschreiben? wäre lieb....

18.01.2005, 14:01

klarsoweit

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also das hatte ich doch gemacht. Nochmal:
Man nimmt den 1. Vektor der Basis C, berechnet das Bild und stellt das in den Koordinaten der Basis B dar.
Letzteres ist nicht schwer, da B ja die Standardbasis ist. Das Ergebnis trägt man als Spalte
in die Matrix ein. Das wäre für dieses Beispiel:
f((1,1,0,0)) = (4,-4,4,4,4) Wie das gerechnet wurde, ist hoffentlich verstanden. Nun das Ergebnis als 1. Spalte in die Matrix eintragen:
$\begin{eqnarray*} M^B_C(f) = \begin{pmatrix} 4 & ... & ... & ... \\ -4 & ... & ... & ... \\ 4 & ... & ... & ... \\ 4 & ... & ... & ... \\ 4 & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt nimmt man den 2. Vektor der Basis und macht das gleiche, usw. mit jedem Vektor der Basis. Das kannst du nun machen.

18.01.2005, 14:28

Fliege

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also

$\begin{eqnarray*} B= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

also nehme ich den ersten vektor von C sprich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und setze in
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 12 & 4 \\ 0 & 4 & -17 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie kommst du dann auf 4,-4,4,4,4?!?!?!?

18.01.2005, 15:13

klarsoweit

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drücke ich mich so unklar aus? Die Spalten deiner Matrix B bilden die Standardbasis bis auf die 4. Spalte. Da stand (0,0,1,1,0). Dieser Vektor gehört nicht zur Standardbasis. Außerdem fehlte jetzt noch ein Vektor. Die Basis B vom R^5 ist also:
$\begin{eqnarray*} B= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Weißt du nicht, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert?
Das müsste eigentlich bekannt sein.
Ich versuchs trotzdem mal zu beschreiben.
Matrix A * Vektor x wird wie folgt gerechnet:
1. Komponente vom Ergebnis = Skalarprodukt von 1. Zeile von A mit Vektor x
2. Komponente vom Ergebnis = Skalarprodukt von 2. Zeile von A mit Vektor x
usw.

Frage am Rande: Was studierst du?

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