Ungleichungen bei Eigenwerten

Neue Frage »

Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen bei Eigenwerten
Hallo!

Habe hier eine Übungsaufgabe, an der ich schon eine ganze Weile sitze, aber auf keinen grünen Zweig komme. Vielleicht hat hier jemand eine Idee?!

A und B seien reelle, symmetrische 2x2 Matrizen. Sei C=A+B. Seien a1\leq a2 und b1 \leq b2 und c1 \leq c2 die Eigenwerte von A und B und C. Zeigen Sie, dass die Ungleichungen



und



Habe bisher versucht, die Eigenwerte in Abghängigkeit von Variablen auszurechnen und dann die Ungleichungen zu beweisen. Ist allerdings nix geworden!
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen bei Eigenwerten
Ich sehe zwar noch nicht, wie das gehen soll, aber die Ungleichung



verletzt mein mathematisches "Symmetriegefühl" - verglichen mit den restlichen Aussagen. Heißt die Behauptung an der Stelle nicht vielleicht eher

?
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt! Habe mich verschrieben! Sorry!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich wüsste einen Weg für den Beweis, der ist aber grauenhaft lang und umständlich. Warten wir lieber ein paar Stunden auf Leopold, dem fällt bestimmt was elegantes ein. Augenzwinkern
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal!

Nehme gerna uch komplizierte Lösungen... ;-) !
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es nicht anders gewollt. Augenzwinkern

Ok, Stück für Stück (nicht alles auf einmal):

Ich gehe mal von der Summenmatrix C aus. Da sie symmetrisch ist, gibt eine orthonormale Matrix V, (also mit V^T = V^(-1) ), so dass C'=V*C*V^T eine Diagonalmatrix mit den beiden abzuschätzenden Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen ist:


Durch analoges Transformieren A'=V*A*V^T und B'=V*B*V^T entsteht aus dem Originalgleichung C = A + B die transformierte Gleichung C' = A' + B' mit den gleichen Voraussetzungen (alle drei symmetrisch), außerdem wird durch diese Transformation (die einem Basiswechsel von einem Orthonormalsystem zum anderen entspricht) der Eigenraum der Matrizen nicht verändert. Der Unterschied zum Originalproblem ist jetzt, dass C eine "angenehme" Struktur besitzt.

A' und B' können nun (wegen der Struktur der Summe C') mit nur drei zusätzlichen Variablen u, v, w parametrisiert werden:


Aus diesen Darstellungen gewinnt man die charakteristischen Gleichungen für die Eigenwerte von A' und B':



mit den Eigenwert-Lösungen

das "-" für a1, das "+" für a2 (wie von dir vorgegeben).



mit den Eigenwert-Lösungen

das "-" für b1, das "+" für b2.

Und ab hier beginnt dann das Abschätzen, aber vielleicht hast du bis hierher noch Fragen? verwirrt

(Bist du nun von der Schrecklichkeit meiner Lösung hinreichend überzeugt? Augenzwinkern )
 
 
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen lieben Dank, dass Du dir die Mühe gemacht hast, das ganze so ausführlich hinzuschreiben. Bis hierhin kann ich Dir folgen. Hatte ähnlich blöde Zahlen, als ich versucht habe die Eigenwerte auf dem "normalen Weg" zu berechnen und musste dann bei den Abschätzungen aufgeben! Wie machst Du denn jetzt die Abschätzungen?!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen gilt nun




und analog




Jetzt kriegst du durch Addition schon erstmal



und analog

.

Das wären schon erstmal zwei der vier Ungleichungen - den Rest morgen...
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke schön! das ist doch schonmal nachzuvollziehen! Und wie sieht es bei den anderen beiden Ungleichungen aus?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir

abkürzen, dann gilt
,
wegen hat (e²-f²) somit dasselbe Vorzeichen wie (v-u).

Jetzt schätzen wir ab:



EDIT: Große Teile gelöscht, weil überflüssig. Für den Anschluss siehe nächsten Beitrag von mir. Augenzwinkern
gast Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, habe mich wirklich nochmal verschrieben. das maximum meiner zweiten Zeile stimmt jedoch, in der ersten muss es allerdings Minimum heißen! sorry1
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zeit zur Klärung: Heißt es nun




(das ist das, was ich bewiesen habe) - oder das schärfere




?

Trifft letzteres zu, dann war mein letzter Beitrag (beinahe vollständig) für die Katz. traurig
gast Auf diesen Beitrag antworten »

leider das letztere und schärfere... nochmal entschuldigung für meine schreibfehler! Hammer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht alles war umsonst - mit ein wenig Feintuning kann es gerettet werden: smile

Es ist
,
also

(im Fall v>u haben wir das gerade bewiesen. Und im Fall v<=u gilt das sowieso!)
Analog gilt stets


Jetzt schätzen wir etwas genauer ab:

und

gelten beide zugleich ohne Einschränkungen an u,v.

Also gilt tatsächlich
.

Das andere machst du jetzt aber allein, ich muss erstmal meine Finger mit Wundsalbe behandlen... Big Laugh

Lässt sich alles mit noch ein paar Beträgen hier und da sicher effektiver formulieren, aber geschafft ist geschafft. Augenzwinkern

Trotzdem, irgendwie geht das bestimmt schneller - mir fällt bloß nicht ein, wie. verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »