Zwei Geraden spannen eine Ebene auf

06.06.2007, 17:30

MasterPu

Zwei Geraden spannen eine Ebene auf

Hi!

Was muss alles gelten, damit zwei Geraden eine Ebene aufspannen? Ich dachte immer wenn zwei geraden parallel sind, dann spannen sie KEINE Ebene auf aber von meinen Mitschülern sagt hier jeder was anderes.

Und: Wenn diese Geraden eine Ebene aufspannen, wie stell ich dann die Ebenengleichung auf?

Meine Idee war folgende:
Bezeichnen wir die Geraden einfach mal mit g und h.

also:
Aufpunkt von Gerade g oder h + lambda mal Richtungsvektor der Gerade g + µ mal Richtungsvektor der Gerade h

aber das scheint nicht zu stimmen. Welche Überlegung muss ich denn anbringen?

sorry dass ich das in Worten schreib aber ich check das mit dem Latex überhaupt nicht und hab auch nicht soviel Zeit mich damit zu befassen.

06.06.2007, 17:37

Tjamke

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Also zwei Geraden können parallel sein oder sich schneiden um eine Ebene aufzuspannen.

1.Fall: sie schneiden sich:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\vec{A}+t\vec{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h: \vec{x}=\vec{B}+r\vec{v} \end{eqnarray*}$

Um die Ebene zu bekommen nimmt man einen Stützvektor und beide Richtungsvektoren.

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}=\vec{A}+t\vec{u}+r\vec{v} \end{eqnarray*}$

2.Fall: sie sind parallel:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}=\vec{A}+t\vec{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h: \vec{x}=\vec{B}+r\vec{v} \end{eqnarray*}$

Um die Ebene zu erhalten nimmt man einen Richtungsvektor und einen Stützvektor und den zweiten Richtugsvektor erhält man in dem man den Vektor von A nach B berechnet.

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}=\vec{A}+t\vec{u}+r\vec{AB} \end{eqnarray*}$

klar? smile

lg tjamke

06.06.2007, 17:51

riwe

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oder immer variante 2

06.06.2007, 17:53

MasterPu

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achso! sprich wenn sie parallel sind dann ist der erste richtungsvektor einfach der richtungsvektor der beiden geraden (der ja derselbe ist, wenn ich mich nicht täusche) und der zweite ist die Strecke vom einen Aufpunkt zum anderen.... verdammt...das ist ja auch logisch ich danke dir vielmals

06.06.2007, 17:53

Tjamke

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ja, aber wenns geht is ja 1 einfacher. smile

06.06.2007, 17:58

riwe

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Zitat:

Original von Tjamke
ja, aber wenns geht is ja 1 einfacher. smile

ja klar, aber 2 für denk- und schaufaule

06.06.2007, 18:00

Tjamke

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06.06.2007, 18:00

MasterPu

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Dann erdreiste ich mich mal und stell noch eine Frage und zwar weil ich meine Aufzeichnungen darüber nicht find ^^ . Ob zwei Geraden eine Ebene aufspannen, hast du ja schon gesagt prüft man, ob se parallel sind oder sich schneiden...

Gehe ich richtig in der Annahme, dass man auf parallelität prüft indem man schaut, ob der Aufpunkt der einen Gerade auf der anderen liegt? UNd die nur parallel sind wenn das eben nicht der Fall ist? Klingt für mich zumindest am logischsten. Und um das widerum zu prüfen setzt man ihn dann halt mit der Gerade gleich?

Wie stelle ich fest, dass sie sich schneiden? Ich denke da an Gleichsetzen der beiden Geraden und anhand eines gleichungssystems feststellen, dass für errechnete Werte von den Variablen wahre Aussagen rauskommen. Ist das richtig? Oder geht das auch irgendwie mit einer kollinearitätsprüfung?

06.06.2007, 18:06

Tjamke

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Also, Parallelität prüft man in dem man schaut ob die Richtungsvektoren Vielfache von einander sind. Wenn ja können sie echt parallel oder identisch sein. Das wiederum überprüft man indem man den Stützvektor der einen Gerade in die andere einsetzt (Punktprobe) und schaut ob die Gleichungen eine reele Lösung haben. Wenn nicht sind sie echt parallel.
Zum Schneiden einfach gleichsetzen, wie du shon gesagt hast.

06.06.2007, 18:11

MasterPu

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Zitat:

Original von Tjamke
Also, Parallelität prüft man in dem man schaut ob die Richtungsvektoren Vielfache von einander sind.

Und zwar deswegen, weil Vektoren Repräsentanten im Raum sind und somit der Vektor (also als Beispiel jetzt) (100/200/300) im Prinzip der gleiche ist wie (1/2/3) . Ist das die richtige Überlegung?

06.06.2007, 18:14

MasterPu

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Zitat:

Original von Tjamke
Das wiederum überprüft man indem man den Stützvektor der einen Gerade in die andere einsetzt (Punktprobe) und schaut ob die Gleichungen eine reele Lösung haben. Wenn nicht sind sie echt parallel.

Du sagst dass man den in die andere EINSETZT. Ich hab hier ein Buch mit ner Lösung und da wird der nicht eingesetzt, sondern mit der anderen Geradengleichung GLEICHGESETZT. Meintest du das damit? Oder hab ich was falsch verstanden?

06.06.2007, 22:39

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Zitat:

Original von MasterPu
Und zwar deswegen, weil Vektoren Repräsentanten im Raum sind und somit der Vektor (also als Beispiel jetzt) (100/200/300) im Prinzip der gleiche ist wie (1/2/3) . Ist das die richtige Überlegung?

Diese Aussage stimmt so nicht!
Vektoren sind eine Klasse von Pfeilen mit derselben Richtung und mit derselben Länge.
Diese beiden Vektóren haben zwar dieselbe Richtung, aber da das eine das Vielfach vom anderen ist, sind sie in ihren Längen nicht gleich,also unterschiedliche Vektoren!

Zitat:

Du sagst dass man den in die andere EINSETZT. Ich hab hier ein Buch mit ner Lösung und da wird der nicht eingesetzt, sondern mit der anderen Geradengleichung GLEICHGESETZT. Meintest du das damit? Oder hab ich was falsch verstanden?

Was meinst mit den fettgedruckten Wörter? Wir können keine Gedanken lesen.
Sie meint bloß den Ortsvektor der einen Gerade in die andere Gerade einsetzen und ausrechnen. Es darf kein Widerspruch entstehen.

07.06.2007, 08:39

Tjamke

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sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} +r\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ansatt einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ setze ich eben den Stützvektor der anderen Gerade ein.

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