adjungierter Endomorphismus

06.06.2007, 17:48	Anc	Auf diesen Beitrag antworten »
adjungierter Endomorphismus Hallo! sei V ein endl. dimensionaler komplexer Vektorraum mit hermiteschem Produkt und sei $\begin{eqnarray} \alpha :V -> V \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus. zeige: $\begin{eqnarray} Tr(\alpha' \alpha ) \geq 0 \end{eqnarray}$ und Gleichheit genau dann wenn $\begin{eqnarray} \alpha =0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \alpha' \end{eqnarray}$ ist hierbei der adjungierte Endomorphismus, normalerweise mit * gekennzeichnet. Ich glaube das ist eine absolute Standardaufgabe, aber ich bekomme nicht mal nen Ansatz hin. Kann mir jemand vll nen Anstoß geben?
07.06.2007, 13:17	Anc	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, so kanns gehen... ich denke ich hab die Lösung gerade selbst gefunden: $\begin{eqnarray} tr(\alpha '\alpha ) = tr(M'^{T}M) = \sum_{i,k=1}^n~a'^{ik}\cdot a^{ik}=\sum_{i,k=1}^n~\|a^{ik}\|^{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ , Gleicheit nur bei $\begin{eqnarray} \|a^{ik}\|^{2} = 0 \forall i,k \Rightarrow \alpha =0 \end{eqnarray}$ Hierbei beudetet ' komplex konjugiert und i,k ist immer Index. Irgendwie komm ich mit dem Formeleditor nich tganz so gut klar... sry Hat jemand Einwände?

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