Funktion diffbar, dann gibs eine Konstante...

06.06.2007, 18:48

CocaCola

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Funktion diffbar, dann gibs eine Konstante...

http://img112.imageshack.us/img112/2/mathexv9.jpg

Hey

Nen aus dem Schüler Board meinte, dass einem hier geholfen wird. Habe bei der Aufgabe Probleme, weil ich keinen passenden Satz in meiner Vorlesung finde, an dem man das wunderschön anwenden kann!
Kann mir jemand dabei vielleicht helfen?

06.06.2007, 20:22

sqrt(2)

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Ein guter Anfang ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+L (x-a) + R(x-a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{R(x-a)}{\|x-a\|}=0 \end{eqnarray*}$ . (Beachte, dass L hier eine lineare Abbildung ist, bei dir jedoch eine reelle Zahl.)

07.06.2007, 11:35

WebFritzi

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Beachte, dass L hier eine lineare Abbildung ist, bei dir jedoch eine reelle Zahl.

Nein. $\begin{eqnarray*} L: \mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^q. \end{eqnarray*}$

07.06.2007, 11:40

sqrt(2)

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Nein.

07.06.2007, 14:18

L.U.K.A.S

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Hallo,

ich hätte auch noch mal ein paar Fragen dazu. Also zunächst habe ich mal das naheliegenste gemacht.

$\begin{eqnarray*} f(x) - f(a) = L (x-a) +R (x-a) \end{eqnarray*}$

- wie kriege ich das R (x - a) weg? x muss ja nicht unbedingt gegen a gehen.
- die zweite Frage hat sich jetzt gerade bei nachdenken geklärt.

Danke
Lukas

07.06.2007, 14:38

sqrt(2)

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Du musst es nicht wegkriegen, denn betrachtet wird lediglich eine Umgebung V um a. Wenn du auf beiden Seiten die Norm bildest und etwas umformst, bekommst du

$\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(a)\|\leq\|L\|\|x-a\|+\|R(x-a)\| \end{eqnarray*}$

Du kannst die Umgebung nun so wählen, dass du $\begin{eqnarray*} \|R(x-a)\|\leq\|x-a\| \end{eqnarray*}$ abschätzen kannst. (Das folgt aus der Bedingung für R oben.)

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07.06.2007, 15:58

L.U.K.A.S

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(a)\|\leq\|L\|\|x-a\|+\|R(x-a)\| \end{eqnarray*}$

Du kannst die Umgebung nun so wählen, dass du $\begin{eqnarray*} \|R(x-a)\|\leq\|x-a\| \end{eqnarray*}$ abschätzen kannst. (Das folgt aus der Bedingung für R oben.)

Okay, jetzt habe ichs begriffen. Kann ich die Umgebung einfach so definieren? oder muss ich dazu irgendetwas beweisen?

Ich würde jetzt einfach schreiben: Definiere eine Umgebung $\begin{eqnarray*} V_{\epsilon}(a) \subset U \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \|R(x-a)\|\leq\|x-a\| \end{eqnarray*}$ ist.

07.06.2007, 16:15

sqrt(2)

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Naja, du musst halt schon begründen, dass das geht. Dazu wählt man $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ .

07.06.2007, 16:33

CocaCola

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wenn $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1 \end{eqnarray*}$ dann exestiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in U_\delta(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} d_Y(f(x),f(x_0)) < \varepsilon \end{eqnarray*}$

oder?

also jetzt man ein

$\begin{eqnarray*} \mid \mid f(x) - f(a) \mid \mid \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ exestiert ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ sodass für alle x gilt

$\begin{eqnarray*} \| f(x)-f(a) \| \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \| L \| \| x-a \| + \| R(x-a) \| \leq \delta \end{eqnarray*}$

oder? aber epsilon delta kriterium kann ich nicht so gut! kann mir jemand weiterhelfen?

07.06.2007, 16:41

sqrt(2)

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Es geht nur um den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{R(h)}{\|h\|}\to 0 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ ), denn R soll abgeschätzt werden. Also gilt mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists\delta>0:\forall x\in U_\delta(a):\left\|\frac{R(x-a)}{\|x-a\|}\right\|<1 \end{eqnarray*}$ .

07.06.2007, 16:55

CocaCola

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$\begin{eqnarray*} \left\|\frac{R(x-a)}{\|x-a\|}\right\|<1 \end{eqnarray*}$ gilt ja weil

$\begin{eqnarray*} \|R(x-a)\|\leq\|x-a\| \end{eqnarray*}$

also strebt das obere schneller gegen 0 als das untere und ist damit immer < 1 und müsste eigentlich gegen 0 streben oder?

07.06.2007, 16:57

sqrt(2)

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Du vertauschst Voraussetzung und Folgerung.

07.06.2007, 17:26

CocaCola

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kann ich nicht einfach
$\begin{eqnarray*} h=lim_{a->x } x - a \end{eqnarray*}$ definieren.

aber ich will das ja eigentlich beweisen! oh man! ich komm nicht weiter!

07.06.2007, 17:39

sqrt(2)

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Du fabulierst Unsinn.

Voraussetzung ist: f ist diffbar bei a. Das bedeutet

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+L(x-a)+R(x-a) \end{eqnarray*}$

mit einer linearen Abbildung L und einem Rest R, für den gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \frac{R(x-a)}{\|x-a\|}=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du $\begin{eqnarray*} h:=x-a \end{eqnarray*}$ substituierst, kommst du auf die Formulierung

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{\|h\|}=0 \end{eqnarray*}$ ,

aber das ist genau das gleiche wie oben.

Diesen Grenzwert (der im wesentlichen nur besagt, dass der Rest R schneller als linear gegen 0 geht) nutzen wir aus, um zu zeigen, dass es eine Umgebung um a gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} \|R(x-a)\|<\|x-a\| \end{eqnarray*}$ .

Dazu setzen wir in die Grenzwertdefinition die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{R(x-a)}{\|x-a\|} \end{eqnarray*}$ ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall x\in U_\delta(a):\left\|\frac{R(x-a)}{\|x-a\|}\right\|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Das gilt. Das wissen wir, denn es folgt direkt aus der Diffbarkeit von f. Weil da steht, "für alle epsilon", wählen wir einfach mal $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=1 \end{eqnarray*}$ , denn das stellt sich als zweckmäßig heraus. Dann besagt die obige Formulierung nämlich

$\begin{eqnarray*} \exists\delta>0:\forall x\in U_\delta(a):\left\|\frac{R(x-a)}{\|x-a\|}\right\|<1 \end{eqnarray*}$ .

Auf deutsch: Es gibt eine Umgebung (Kugel mit dem Radius $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ) von a, innerhalb der ist

$\begin{eqnarray*} \left\|\frac{R(x-a)}{\|x-a\|}\right\|<1~\Lra~\|R(x-a)\|<\|x-a\| \end{eqnarray*}$ .

Damit ist die Abschätzung gezeigt.

07.06.2007, 18:01

CocaCola

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danke für den ausführlichen post

verstehe nur noch eine ganz kleine sache nicht

woher weiss ich genau, dass das gilt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \frac{R(x-a)}{\|x-a\|}=0 \end{eqnarray*}$

07.06.2007, 18:04

sqrt(2)

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Zitat:

Original von CocaCola
woher weiss ich genau, dass das gilt?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \frac{R(x-a)}{\|x-a\|}=0 \end{eqnarray*}$

Daher, dass f bei a differenzierbar ist. Schau in dein Lehrbuch, eventuell verwendet das diese Darstellung sogar als Definition für Differenzierbarkeit.

07.06.2007, 18:10

CocaCola

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manchmal hilft es éine seite weiter zu schlagen! besten dank

08.06.2007, 19:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Beachte, dass L hier eine lineare Abbildung ist, bei dir jedoch eine reelle Zahl.

Sorry, hatte das missverstanden. smile

smile

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