Lagrange

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06.06.2007, 23:10	barsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Hi, ich bin neu hier, und will mein Glück gleich einmal bei folgender Aufgabe versuchen: Ich habe die Funktion f: $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \to \mathbb R, f(x,y)=y^2-3xy \end{eqnarray}$ gegeben und soll die Maxima/Minima unter der Bedingung $\begin{eqnarray} 2=3y^2+x^2+2xy \end{eqnarray}$ berechnen. Naja, ich denke, ich muss mit dem Lagrange-Multiplikator arbeiten. Ich nenne meine Nebenbedingung $\begin{eqnarray} g(x,y)=3y^2+x^2+2xy-2 \end{eqnarray}$ und gehe wie folgt vor: $\begin{eqnarray} L(x,y,\lambda)=y^2-3xy+\lambda\cdot(3y^2+x^2+2xy-2 ) \end{eqnarray}$ Ich berechne die partiellen Ableitungen: Nach x abgeleitet erhalte ich: $\begin{eqnarray} -3y+2\lambdax+2\lambday=0 \end{eqnarray}$ Nach y abgeleitet erhalte ich: $\begin{eqnarray} 2y-3x+6\lambday+2\lambdax=0 \end{eqnarray}$ Und als letztes leite ich nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ab, wodurch ich einfach meine Nebenbedingung erhalte: $\begin{eqnarray} 3y^2+x^2+2xy-2=0 \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich x,y und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ berechnen. Das ist aber gar nicht so einfach, wie ich finde. Ich habe die ersten beiden Gleichungen (die eine, die ich nach x und die, die ich nach y partiell abgeleitet habe) jeweils nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ umgestellt und gleichgesetzt, erhalte da aber etwas, was ich nicht berechnen kann. Ich hoffe, es kann mir hier geholfen werden. MfG barsch P.S.: Ich hoffe, ich habe alles richtig formatiert. Ist ja mein erster Beitrag hier.
07.06.2007, 08:40	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Du hast linare Algebra gehört? Dann sollten dir mächtigere Mittel als "Einsetzen" zur Verfügung stehen. Also wir haben da ein System mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Leg los! Achso: im Board!
07.06.2007, 12:22	barsch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Hi, habe Lineare Algebra gehört. Ein "mächtigeres Mittel" als Einsetzen. Gauß, vielleicht? Ich werde es einmal damit versuchen. MfG barsch
07.06.2007, 21:52	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Und? Hat's geklappt?
07.06.2007, 21:54	barsch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Hi, nein, habe es nicht hinbekommen. Hast du vielleicht eine Lösung? Ich bekomme es mit Gauß nicht hin. MfG barsch
07.06.2007, 21:56	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Huch ... das System ist ja nichtlinear. Sorry, das hatte ich noch nicht gesehen. Mmm ... mal überlegen ....
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07.06.2007, 21:59	barsch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Also, ich bin für jede Hilfe dankbar MfG
07.06.2007, 22:18	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange wenn ich mich da mal einmischen darf. aus den beiden gleichungen $\begin{eqnarray} 2\lambda x+2\lambda y-3y=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\lambda x-3x+6\lambda y+2y=0 \end{eqnarray}$ kann man nämlich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eingrenzen. denn schreibt man dieses lin. GS mal als matrix mal vektor, so gilt $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 2\lambda & 2\lambda-3\\ 2\lambda -3 & 6\lambda +2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ nun muss man nachrechnen, wann die determinante der matrix gleich null ist, denn nur dann existiert eine lösung $\begin{eqnarray} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray}$ des GS. beachte, dass x=y=0 keine lösung sein kann, wegen der nebenbedingung!
07.06.2007, 22:26	barsch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Kein Problem, du darfst dich natürlich einmischen. Doch, die Aufgabenstellung ist (leider) korrekt wiedergegeben. Deswegen, ich sitze schon zwei Tage daran, ohne ersichtliches Ergebnis. Außer den partiellen Ableitungen. Gruß barsch
07.06.2007, 22:29	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange hab grad editiert, schau nochmal nach. ich hatte einen rechenfehler gemacht!
07.06.2007, 22:32	barsch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Hi, kann ich daraus folgern, dass es unter der Nebendedingung keine Maxima/Minima gibt? Ich habe leider kein Programm, womit ich das zeichnen lassen könnte, vielleicht würde es dann ersichtlich? Gruß
07.06.2007, 22:35	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange nein, nein, ich denke schon, dass es da welche gibt. ich habe dir ja oben geschrieben, wie du das lambda berechnen kannst!!!

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