flächenformel

07.06.2007, 00:20

jkb

flächenformel

hey ihr!

ich komm mal wieder nicht weiter bzw. finde keine anfang.
ich soll ein vektorfeld berechnen über das integral gamma. die berechnung an sich wäre nicht das problem. ich kann nur mein gamma nicht bestimmen, denn:

gamma ist eine parametrisierung des randes der folgenden gebiete in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ist:

(a) dreieck mit den ecken (0,0), (x1,y1) und (x2,y2)
(b) Ellipse mit den halbachsen a,b größer 0
(c) G = { (x,y) $\begin{eqnarray*} \in\mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ : a strikt kleiner x strikt kleiner b, 0 strikt kleiner y strikt kleiner f(x)\}, wobei f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ ([a,b]) mit f $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0.

wie bestimme ich denn diese blöde parametrisierung. ich hab keine ahnung, wie ich diese funktion aufstellen kann!

bitte helft mir!

vielen dank im voraus,

liebe grüße julia

07.06.2007, 08:38

Dual Space

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RE: flächenformel

Zitat:

Original von jkb
(a) dreieck mit den ecken (0,0), (x1,y1) und (x2,y2)

$\begin{eqnarray*} \Gamma(t)=\Gamma_1(t)\cup\Gamma_2(t)\cup\Gamma_3(t) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \Gamma_1(t)=\begin{pmatrix} t x_1 \\ t y_1\end{pmatrix},\quad t\in[0,1], \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Gamma_2(t)=\begin{pmatrix} tx_2+(1-t) x_1 \\ ty_2 + (1-t) y_1\end{pmatrix},\quad t\in[0,1], \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Gamma_3(t)=\begin{pmatrix} (1-t) x_2 \\ (1-t) y_2\end{pmatrix},\quad t\in[0,1]. \end{eqnarray*}$

Bei b) schaust du entweder in deine Mitschriften, oder in ein Buch, oder bei Wiki, oder bei Google, (oder ....) und findest dort die Parameterdarstellung einer Ellipse. Bei c) musst du halt mal ein wenig knobeln. Versuch dich dran und poste deinen Vorschlag. Augenzwinkern

07.06.2007, 13:21

jkb

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RE: flächenformel
okay, das sind bei der a dann ja einfach die "verbindungsstrecken" zwischen den ecken, oder?
soweit hatte ich das auch. aber kann ich das irgendwie besser zusammenfassen als nur hintereinander schreiben?

liebe grüße,
julia

07.06.2007, 13:54

Dual Space

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RE: flächenformel

Zitat:

Original von jkb
soweit hatte ich das auch.

Wär schön, wenn du das dazugeschrieben hättest, dann hätte ich mir den Post sparen können.

Sei doch froh, wenn du eine solche ("hintereinander geschriebene") Darstellung hast. Damit zerfällt dein Integral in 3 wesentlich einfachere.

07.06.2007, 14:21

jkb

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RE: flächenformel
sry, ich wusste nicht wie ich das hier posten kann, ich kenn mich mit dem formeleditor und dem ganzen zeug nicht wirklich aus.

muss ich das kurvenintegral dann für jede einzelne der drei fkt. berechnen? oder kann ich das alles unter ein integral schreiben?

07.06.2007, 14:47

Dual Space

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RE: flächenformel
Verstehe ich dich richtig, dass dein eigentliches Problem gar nicht die Parameterdarstellungen, sondern Kurvenintegrale an sich sind?

Das gesuchte Integral berechnest du im Fall a) wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_\Gamma\dots=\int_{\Gamma_1}\dots + \int_{\Gamma_2}\dots + \int_{\Gamma_3}\dots \end{eqnarray*}$

Edit: Hast du mal geschaut, ob dein Vektorfeld evtl. sogar ein Gradientenfeld ist?

07.06.2007, 15:18

jkb

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RE: flächenformel
eigentlich habe ich das schon verstanden, aber irgendwie hat mich das dann zwischendurch bisschen verwirrt.

nein, ich habe nicht geschaut, ob es ein gradientenfeld ist, aber wieso sollte ich?

hab das integral jetzt berechnen, thx!
bei dem rest muss ich mir noch ein bisschen gedanken machen! smile

07.06.2007, 15:31

Dual Space

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RE: flächenformel

Zitat:

Original von jkb
nein, ich habe nicht geschaut, ob es ein gradientenfeld ist, aber wieso sollte ich?

Weil das Ergebnis dann unabhängig von gewählten Weg ist (wäre).

07.06.2007, 15:35

jkb

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RE: flächenformel
achso, okay, d.h. das sollte ich noch machen?!

07.06.2007, 15:50

Dual Space

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RE: flächenformel
Nicht zwingend. Aber falls du da doch ein Gradientenfeld hast, kannst du dir b) und c) sparen.

07.06.2007, 16:07

jkb

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RE: flächenformel
dann sollte ich mal schaun ob ich eins hab^^

vielen dank schon mal!

liebe grüße, julia

07.06.2007, 22:44

jkb

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RE: flächenformel
kann es sein, dass bei der (b) als ergebnis null raus kommt?

08.06.2007, 08:18

Dual Space

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RE: flächenformel
Ja kann sein. Aber da du uns dein Vektorfeld nicht verrätst, wird dir die Frage keiner beantworten können. Augenzwinkern

08.06.2007, 18:11

jkb

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RE: flächenformel
wenn du es unbedingt haben magst Augenzwinkern

:

F: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2}\to \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ , F(x)=1/2 (-y,x)

also gradietenfeld ist es leider keines^^ eigentlich schade Augenzwinkern

vielen dank für deine mühen! Mit Zunge

liebe grüße. julia

10.06.2007, 12:21

jkb

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RE: flächenformel
kannst du mir bei der c noch nen tipp geben? ich komm da auf kein ergebnis!

liebe grüße, julia smile

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