Fette Analysis-Aufgabe

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Thomas Auf diesen Beitrag antworten »
Fette Analysis-Aufgabe
Hi,
hier präsentiere ich euch unsere heutige Mathe-hausaufgabe (bei mir ist die Lösung 3 1/2 seiten lang, vielleicht schreib ich ja so groß, aber die aufgabe is au net kurz):

Zitat:

G1 und G2 sind zwei Geraden; die zu G1 gehörige Funktion lautet g1(x) = 4/5x + 9/5, G2 verläuft senkrecht zu G1 und enthält den Punkt P(0/10).
Bestimme die zu G2 gehörige Funktion g2 und berechne den Schnittpunkt S beider Graphen.
C ist der Graph der Funktion f(x) = Wurzel(ax² + b); bestimme a und b so, dass C die Gerade G1 in S berührt.
Diskutiere die Funktion f1(x) = Wurzel(x² + 9). Bestimme dazu: Definitions- und Wertebereich, Bereiche des Steigens und Fallens und das Krümmungsverhalten.
Fertige eine Skizze des Graphen C1 der Funktion f1 im Intervall -6 <= x <= 6 an (Längeneinheit 1cm). In das gleiche Koordinatensystem sind auch die Graphen G1 und G2 einzuzeichnen.
Die Graphen G1 und G2 bestimmen mit der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck. Diesem Dreieck soll ein weiteres Dreieck ABC so einbeschrieben werden, dass die Grundlinie AB parallel zur x-Achse, die Ecke C auf der x-Achse liegt. Für welche Höhe h hat das einbeschriebene Dreieck maximalen Flächeninhalt?


der letzte teil mit dem dreieck ist der schwierigste... also, ich will lösungen sehen, ich hab sie alle (und richtig!) ! Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

dafür bin ich jetzt zu faul Big Laugh

hab nichts zum schreiben da, und im Moment mach ich lieber Vektoren Big Laugh

mfg
 
 
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

G2:
y=mx + b
m=-5/4

P / m einsetzen:
10=-5/4*0+b
<=> b=10
=> g2(x)=-5/4x+10

schnittpunkt:
g1(x)=g2(x)
4/5x +9/5=-5/4x +10 |+5/4x |-9/5
41/20x=41/5
x=4
g2(4)=5
=>S(4 ; 5)

der rest ist mir jetzt zu stressig X(
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

leider hast du nen kleinen fehler reingebaut, der punkt ist 0/10 und nicht 0/0.... unglücklich
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

wovon redest du, ich hab doch alles richtig X(
geschockt Augenzwinkern
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

lol Augenzwinkern

da hat wohl einer die edit-funktion entdeckt Buschmann

die richtig interessante aufgabe ist aber die mit dem dreieck... löst die doch mal! :rolleyes:
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte anfangen während der English-Stunde, weil der Lehrer nicht da war. Aber nein, es kommt ne Vertretung und wir kriegen nen Arbeitsauftrag...
hab aber trotzdem noch angefangen...

aber das ist teilweise zu lange her...

g2(x) = -5/4x + 10

Das diskutieren hab ich nicht gemacht...und den Graphen C kann ich mir nicht vorstellen. Da gibts im Prinzip mehrere Möglichkeiten, wenn ich mich jetzt nicht täusche...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

hab mir das heute auch noch einmal genauer angeschaut. den graphen c bzw. die variablen a und b erhältst du über folgende 2 bedingungen

1. f(4) = 5 = wurzel aus (4²*a + b)
2. 4/5 = f´(x) -> 4/5 ist die steigung der geraden. da der graph C die gerade in dem punkt S nur berühren soll, muss die steigung von C im Punkt S ebenfalls 4/5 entsprechen

ich war nur zu faul die ableitung von f(x) zu machen.. smile
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

also das prinzip ist schon mal richtig Augenzwinkern

faulheit zählt net smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

was heisst Faulheit zählt ned?
Ich hatte keine Zeit mehr, und die Theorie für die Graphen ist schon zu lange her...

muss man da irgendwie noch ableiten? Das haben wir noch nicht gemacht...

mfg
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

faulheit ist ne faule ausrede Big Laugh

ja muss man... des würd mich etz echt interessieren, wie lang ihr für diesen teil mit dem dreieck braucht, ist net so einfach... dazu braucht man aber auch das vorher nicht wirklich.... Augenzwinkern

also los!
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben das ableiten noch nicht gemacht...sorry...
komm also nicht weiter Augenzwinkern
Und hab jetzt eh frei...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

wenn der steve das nicht macht, werd ich mich wohl der aufgabe morgen annehmen Augenzwinkern
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Tanzen

jippi! smile Gott
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

tja..dann viel Spass...
ist halt schwierig wenn man nicht ableiten kann...das machen wir erst nächsten Herbst...
dafür hab ich am Freitag eine Prüfung über Exponentialgleichungen, Logarithmengleichungen und 3D-Vektoren...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

bäääh, thomas. du hast ja den ersten eintrag bei tipps & tricks gemacht smile aber willste nicht auch die lösung dort posten? Augenzwinkern

ich werd das jedenfalls so machen
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Puhhh, dann schauen die leute doch gleich nach, is doch langweilig...
hmhmhm ... mal sehen wie ich das mach, oder schaffst du nur selbst das mit dem dreieck nicht, und willst abguggen? Big Laugh
jama Auf diesen Beitrag antworten »

die aufgabe lös ich dir auch noch smile

naja, die kategorie heißt ja tipps und tricks. da sollten wir schon lösungen liefern. ich mach das ja so, dass ich anhand der lösungen auch einige schritte erkläre ... ab und zu mal. auf dauer ist das sicherlich nützlicher, als nur die aufgabenstellung zu geben smile )
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

okok, das mach ich schon mal...

wenn du die aufgabe gelöst hast Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann man nur so verliebt in eine Aufgabe sein :P

ist ja ok, wenn sie schwierig ist, ich lös sie dir wenn ich ableiten kann Big Laugh

mfg
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin net verliebt in die aufgabe Augenzwinkern

die war nur die coolste aufgabe die ich in letzter zeit gelöst hab Augenzwinkern
CJ-CJ-CJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ist h = 2,5 die richtige Lösung für die Aufgabe mit dem Dreieck?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

G1:=4/5*x + 9/5
G2:=-5/4*x+b mit b=10 wegen (0|10)

4/5*x + 9/5=-5/4*x+10
führt zu S(4|5)


sqrt(a*4^2 + b)=5 erzwingt b = -16 a + 25 und damit

C:= sqrt(a*x^2 -16*a+25)

C=G1 ...
sqrt(a*x^2 -16*a+25) = 4/5*x + 9/5

führt zu den beiden Lösungen x1,x2
4, -4*(25*a-34)/(25*a-16)

wegen Tangente muss x1=2 sein also
4 = -4*(25*a-34)/(25*a-16)

was a=1 erzwingt.

damit ergibt sich für C

C=sqrt(x^2+9)

Kurvendiskussion
...
...

Schnittpunkt A, G1 mit Abszisse

4/5*x + 9/5 = 0
A(-9/4|0)

Schnittpunkt B, G2 mit Abszisse

-5/4*x+10=0
B(8|0)

Ausgangsdreieck Grundlinie (9/4 + 8 )
Höhe 5

damit ergibt sich aus Ähnlichkeitsbedingungen für die Fläche
des einbeschriebenen Dreiecks mit der Höhe h

2*F =h * ((9/4+8 ) / 5) * (5-h) = 41/20 * h * (5-h)

2*F' = 41*(1/4-1/10*h)

und damit h_Fmax = 5/2 = H_ausgang / 2



smile
CJ-CJ-CJ Auf diesen Beitrag antworten »

Anderer Lösungsvorschlag:

Die Parallele zur X-Achse "AB" lässt sich als y=n schreiben. Diese Funktion bringt man mit G1 und G2 zum Schnitt und erhält A ( 5/4 * n - 9/4 ; n ) bzw
B ( - 4/5 * n + 8 ; n ). Mit der Punktabstandsgleichung erhält man für die Länge dieser Strecke AB = Wurzel ( ( - 41/20 * n + 41/4)²)


Formel für den Flächeninhalt das allgemeinen Dreiecks A=0.5 g * h wobei das in diesem fall A=0.5 AB * n ist. (h=n)

Also konkret A= 0.5 * Wurzel ( ( - 41/20 * n + 41/4)²) * n


Davon das Maximum bestimmen und man erhält n=h= 2,5.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Poff: wie kommst du auf folgendes:

wegen Tangente muss x1=2 sein also
4 = -4*(25*a-34)/(25*a-16)

?? Ich verstehe einfach nicht, wie du auf das mit der tangente und x=2 kommst, könntest du mir das vielleicht einmal erklären??

Bis denn mathe760 Wink
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe760
?? Ich verstehe einfach nicht, wie du auf das mit der tangente und x=2 kommst, könntest du mir das vielleicht einmal erklären??
Bis denn mathe760 Wink


Hi,
du hast einen Tippfehler ausgegraben (nach über 3 Jahren Augenzwinkern )

Wie soll ich heute noch wisssen .....


Nein, das muss x1=x2 heißen.
Für Tangente müssen die beiden Schnittpunkte (Gerade mit 'Graph') zu einem Punkt zusammenfallen und das bedingt, dass AUCH die Schnittstellen selbst zusammenfallen müssen ....

Jetzt solltest klarkommen.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Poff,

Vielen dank, jetzt habe ich die Aufgabe vollkommen gelöst, allerdings tun sich mir einige Zweifel auf wie ich das Steigungsverhalten von sqrt(x^2+9) bestimme, allgemein ist mir schoin bekannt, das man einen Extrem punkt nimmt und dann die zweite ableitung bildet, und dann kuckt ob es eine recht oder linkskrümmung istr, hier komm ich aber nicht wirklich weiter, ausserdem würde ich gerne wissen wie man das aufstrellen sollte.

Vielen Dank.

Bis denn mathe760 Wink
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe760
, allerdings tun sich mir einige Zweifel auf wie ich das Steigungsverhalten von sqrt(x^2+9) bestimme, allgemein ist mir schoin bekannt, das man einen Extrem punkt nimmt und dann die zweite ableitung bildet, und dann kuckt ob es eine recht oder linkskrümmung istr, hier komm ich aber nicht wirklich weiter, ausserdem würde ich gerne wissen wie man das aufstrellen sollte.


Hallo mathe760

Du bildest die erste Ableitung, das ergibt eine Gerade. Überall wo deren Ordinate positiv ist auch die Steigung der Parabel positiv und das bedeutet die Parabel ist dort durchweg monoton steigend. Überall wo die Gerade neg ...

Krümmung
Die zweite Ableitung ist eine positive Konstante (unabhängig von x !), dh. die Krümmung wechselt nicht von Rechts nach Links oder umgekehrt, sondern bleibt fest bei ...

mehr ist nicht.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut Danke und wie kann ich das so ungefär aufstellen??
Erst Ableitungen, dann rechnung, dann Begründung??

Und noch eine Letzte Frage. Kannst du mir mal kurz erläutern, wie du auf folgendes gekommen bist??

C=G1 ...
sqrt(a*x^2 -16*a+25) = 4/5*x + 9/5

führt zu den beiden Lösungen x1,x2
4, -4*(25*a-34)/(25*a-16)

Ja ich weiß mit abc Formel, aber kannst du mir mal son bisschen den Rechenweg zeigen, weil wenn ich beides Quadrier, auf der rechten Seite Binomische Formel benutze, und anschließend alles auf eine Seite packe, kommt was sehr komplexes mit sehr vielen Brüchen raus...

Vielen Dank für deine Hilfe, du bist echt nett Freude

Bis denn mathe760 Wink
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe760
Ja ich weiß mit abc Formel, aber kannst du mir mal son bisschen den Rechenweg zeigen, weil wenn ich beides Quadrier, auf der rechten Seite Binomische Formel benutze, und anschließend alles auf eine Seite packe, kommt was sehr komplexes mit sehr vielen Brüchen raus...


Oki, zum abc-üben mal ganz nett, (gedacht wars so nicht Augenzwinkern )

sqrt(a*x^2 -16*a+25) = 4/5*x + 9/5

5*sqrt(a*x^2 -16*a+25) = 4*x + 9

25*(a*x^2 -16*a+25) = 16*x^2+72*x+81

x^2*(25*a-16) -72*x -400*a+625 -81 = 0

x1/2 ={72 +- sqrt( 72^2 - 4*(25*a-16)*(-400*a+544) )} / (2*(25*a-16))

x1/2 ={72 +- sqrt( 40000-80000*a+40000*a^2 )} / (2*(25*a-16))

x1/2 ={72 +- sqrt( (200*a-200)^2 )} / (2*(25*a-16))

x1/2 ={72 +- (200*a-200)} / (2*(25*a-16))

x1/2 =2*{36 +- (100*a-100)} / (2*(25*a-16))

x1 = (36+(100*a-100)) / (25*a-16)

x1 = (100*a-64) / (25*a-16)

x1 = 4*(25*a-16) / (25*a-16) = 4


x2 = (36-(100*a-100)) / (25*a-16) = ...

dass das so 'schön aufgeht' ...., Schulaufgabe, ist dir bestimmt klar. Andernfalls würds recht übel weitergehen.




Alternativ nun auch noch den einfachen Weg Augenzwinkern

f'(x) = x*a / sqrt(a*x^2-16*a+25)
f'(4) = 4*a / sqrt(25) == Steigung Gerade
4/5*a = 4/5
a =1





Zitat:
Original von mathe760
Gut Danke und wie kann ich das so ungefär aufstellen??
Erst Ableitungen, dann rechnung, dann Begründung??

'Steigung und Krümmung von oben' waren Unsinn, da hatte ich x^2+9
anstatt sqrt(x^2+9) betrachtet, hab ich gerade eben bemerkt ....

f1(x) = sqrt(x^2 + 9)
f1'(x) = x/sqrt(x^2+9)

Nenner ist hier immer positiv,
dh für x>0 ist der Ausdruck positiv und für x<0 negativ, oder
für x<0 fällt die Urfunktion und für x>0 steigt sie.


Krümmung ....

f1''(x) = ... = 9/sqrt(x^2+9)^3
und das ist größer 0 für alle x, dh die Krümmung selbst wechselt nicht. Für x=0 wird der Nenner minimal, dh die Krümmung nimmt dort ein Maximum an und das Krümmungsverhalten ist wegen x^2 symmetrisch zum Ursprung.

So, ich denke das wars dann, oder?
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Vielen Dank Poff Tanzen

Jetzt hab ich nur noch eine Frage, wie kommst du auf x1 = (36+(100*a-100)) / (25*a-16) = 4

Woran sieht man das dass 4 ergibt??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe760
Jetzt hab ich nur noch eine Frage, wie kommst du auf x1 = (36+(100*a-100)) / (25*a-16) = 4

Woran sieht man das dass 4 ergibt??


Schau mal hoch, ich habs oben reineditiert.
Gut dass du nicht locker lässt und vorschnell auf einfache Wege ausweichst. Nur wer beharrlich dran bleibt hat Chancen das mehr und mehr sicherer in den Griff zu bekommen.


Die aufwendige Rechnung, das Ermitteln der beiden Schnittstellen usw, wär übrigens auch für diese Lösungsvariante so nicht nötig.
Um zu erreichen dass die beiden Schnittstellen zusammenfallen, reicht es zu fordern dass

sqrt( 72^2 - 4*(25*a-16)*(-400*a+544) ) = 0 ist.

Das ist die Wurzel in der abc-Formel. Ist die Null, dann fallen die Schnittstellen zusammen weil der "+- Ausdruck" dann 0 ist. Um das gesuchte a zu ermitteln reicht es deshalb

72^2 - 4*(25*a-16)*(-400*a+544) ) = 0

nach a aufzulösen. Ergebnis a=1.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Vielen Dank, jetzt hab ich alles verstanden smile .

Du hast Recht, wenn man das wirklich können will, und selbst jeden noch so kleinsten Schritt nicht selbst erarbeiten kann, dann müsste man nochmal nachhaken, auch wenn man denkt man könnte als "Dumm" abgestempelt werden!!

Nochmals tausend Dank für deine Geduld,

Bis denn mathe760 Wink
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