Cauchyfolgen in einer Metrik

Neue Frage »

07.06.2007, 16:39	Smarti	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyfolgen in einer Metrik Hallo, also diese Metriken bringen mich noch zur Verzweiflung. Ihc hab folgende Aufgabe: (X,d) sei ein metrischer Raum a) Zeige das für alle $\begin{eqnarray} x,x',y,y' \in X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \mid d(x,y)-d(x',y') \mid \leq d(x,x') + d(y,y') \end{eqnarray}$ b) Sind $\begin{eqnarray} (X_n)_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (Y_n)_n \end{eqnarray}$ Cauchy Folgen in X, dann ist $\begin{eqnarray} d((X_n),(Y_n))_n \end{eqnarray}$ eine Cauchy Folge in R Zu a fällt mir dann die Definition der Metriken ein. 1. $\begin{eqnarray} d(x,x)=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} d(x,y)=0 \end{eqnarray}$ daraus folgt x=y 3. $\begin{eqnarray} d(x,y)=d(y,x) \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray}$ nur komm ich da nicht auf die Lösung..überseh ich noch mehr möglich Rechnungen? und zu b fällt mir mal wieder gar nichts ein, was natürlich an Cauchy liegt. Vor allem irritiert mich, dass es dann zum schluss in R konvergieren soll... danke für eure Hilfe!
07.06.2007, 16:50	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für a) genügt es zu zeigen (Symmetrie), dass $\begin{eqnarray} d(x,y)-d(x',y')\leq d(x,x')+d(y,y') \end{eqnarray}$ Dafür musst du nur zweimal die Dreiecksungleichung anwenden, dann steht es auch schon da. Für b) sollte a) nützlich sein (intuitiv), aber dazu mehr, wenn du a) bewiesen hast. Gruß, therisen
07.06.2007, 17:25	Smarti	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum darf man wegen Symmetrie den BEtrag weglassen? Ich hab 2 mal die Dreiecksungleichung angewandt: $\begin{eqnarray} d(x,y) \leq d(x,x')+d(x',y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -d(x',y') \geq -d(x',y)-d(y,y') \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} d(x,y)-d(x',y') \leq d(x,x') - d(y,y') \end{eqnarray}$ das würde zwar der Gleichung genügen, da d(x,y) ja immer größer 0 ist, aber ich kann mir kaum vorstellen das des so stimmt. Das minus irritiert mich maßlos.
07.06.2007, 17:37	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das gefällt mir nicht. Benutze $\begin{eqnarray} d(x,y)&\leq d(x,x')+d(x',y) \\ d(x',y)&\leq d(x',y')+d(y',y) \end{eqnarray}$ Naja, streng genommen musst du noch $\begin{eqnarray} d(x',y')-d(x,y)\leq d(x,x')+d(y,y') \end{eqnarray}$ Es ist aber mehr als offensichtlich, dass das aus der ersten Ungleichung folgt. Gruß, therisen
07.06.2007, 17:52	Smarti	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ja ok mit den beiden Gleichungen ist es ja einfach..die zweite kurz umgestellt und man hat das gewünschte Ergebnis. NUr irgendwie komme ich nie auf sowas.. Wie hilft mir diese UNgleichung denn nun bei meinem Cauchy-Problem?
07.06.2007, 18:23	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyfolgen in einer Metrik Sagen wir mal $\begin{eqnarray} (X_n)\to X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Y_n)\to Y \end{eqnarray}$ ... Nun weisst Du, dass für jedes positive Epsilon gilt: $\begin{eqnarray} \exists n_1\in\mathbb N:d(X_n,X)<\varepsilon~ \forall n>n_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists n_2\in\mathbb N:d(X_n,X)<\varepsilon ~\forall n>n_2 \end{eqnarray}$ Wähle nun $\begin{eqnarray} n:=\max\left\{n_1,n_2\right\} \end{eqnarray}$ Was kannst Du nun über den Abstand der Folgen sagen für Indizes grösser als n? Die Folge konvergiert übrigens in IR, weil die Metrik ja nach IR abbildet...
Anzeige

07.06.2007, 18:37	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Frooke, abgesehen von deinem Copy&Paste-Fehler ist das auch inhaltlich falsch. Wo steht, dass $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ konvergiert? $\begin{eqnarray} \|d(X_n, Y_n)-d(X_m, Y_m)\| \leq \dots \leq \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 \end{eqnarray}$ für hinreichend große n,m. Benutze a). Gruß, therisen
07.06.2007, 18:39	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyfolgen in einer Metrik Arrgghhh, da habe ich mal wieder geschlafen... Ja, meinen tu ich: Für jedes positive Epsilon gilt: $\begin{eqnarray} \exists n_1\in\mathbb N:d(X_n,X_m)<\varepsilon~ \forall m,n>n_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists n_2\in\mathbb N:d(Y_n,Y_m)<\varepsilon ~\forall m,n>n_2 \end{eqnarray}$ Sorry, und mit etwas Kosmetik sollte man vllt. am Anfang auch nicht Epsilon wählen... Sorry...
07.06.2007, 18:40	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich mir schon gedacht Ich sage besser nicht, wie oft ich mich gerade bei meinem Beitrag vertippt habe
07.06.2007, 20:10	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beitrag oben ist zwar aus einer Unaufmerksamkeit so entstanden, aber jetzt muss ich dennoch mal was nachfragen. Wäre es nicht (ich hab mir das jetzt nicht toll überlegt) möglich, den Raum entweder als vollständig zu betrachten oder wenn er unvollständig ist, seine Vervollständigung zu betrachten und dennoch mit Konvergenz zu argumentieren?
07.06.2007, 20:28	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Vervollständigung eines metrischen Raumes braucht man doch gerade die oben genannte Ungleichung. Ich denke, das läuft eher auf eine Art Zirkelschluss hinaus. Gruß, therisen
08.06.2007, 16:48	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa, war wohl nichts ...

Neue Frage »

Antworten »

Cauchyfolgen in einer Metrik

Verwandte Themen