Tiefpunkte einer Sinuskurve Vorgehensweise

07.06.2007, 18:29

Ratloser

Tiefpunkte einer Sinuskurve Vorgehensweise

Hey,

ich habe bereits meine gegebene Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x+cos(\pi x) \end{eqnarray*}$

abgeleitet zu:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1-\pi sin(\pi x) \end{eqnarray*}$

um meinen Hoch- bzw. Tiefpunkt zu bestimmen
$\begin{eqnarray*} sin(\pi x)=\pi -1 \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt vielleicht eine Substitution versuchen
$\begin{eqnarray*} a=\pi x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\pi}=x \end{eqnarray*}$

Aber es deckt sich nicht mit meinen Ergebnissen, da Sinus hier irgendwie noch reinspielen muss

07.06.2007, 18:37

mYthos

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Du hast falsch umgeformt! Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} 1 - \pi \sin (\pi x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = \pi \cdot \sin (\pi x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin (\pi x) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

07.06.2007, 18:50

Ratloser

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Zitat:

Original von mYthos
Du hast falsch umgeformt! Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \sin (\pi x) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Stimmt, aber wie geht es weiter?

$\begin{eqnarray*} \sin (a) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\pi}=x \end{eqnarray*}$

07.06.2007, 19:07

mYthos

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Aus der Sinusfunktion eines Winkels folgt, dass der Winkel selbst der Arcussinus des Funktionswertes (des Sinus) sein muss (Umkehrfunktion). Ich zeige dir dies an einem (anderen) Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sin 2x = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = \arcsin \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Hauptwert:

$\begin{eqnarray*} 2x = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ \ \ldots \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{12} + k \pi \ \ \ldots \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Nebenwert:

$\begin{eqnarray*} 2x = \frac{5 \pi}{6} + 2k \pi \ \ \ldots \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

07.06.2007, 19:30

Ratloser

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Also wenn ich eine Substitution mache von
$\begin{eqnarray*} sin(0,5x)=0 \end{eqnarray*}$

Habe ich:
$\begin{eqnarray*} a=0,5x \end{eqnarray*}$

und demnach
$\begin{eqnarray*} sin a = 0 \end{eqnarray*}$

und dann kann ich jeweils die Periodenlänge addieren
$\begin{eqnarray*} a1=0 a2=\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1=0 x2=2\pi \end{eqnarray*}$

Und hier brauche ich kein arcsin....

Irgendwie verstehe ich auch nicht auf was du genau hinaus willst

07.06.2007, 19:38

mYthos

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Und ob du den arcsin brauchst!

$\begin{eqnarray*} arcsin(0) = 0 + k \pi \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe steht rechts aber gar nicht Null, sondern ein von Null verschiedener Wert! Willst du nicht doch mein Beispiel nochmals durchdenken und das dann auf deine Aufgabe anwenden?

mY+

07.06.2007, 20:03

Ratloser

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Zitat:

Original von mYthos
Und ob du den arcsin brauchst!

$\begin{eqnarray*} arcsin(0) = 0 + k \pi \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe steht rechts aber gar nicht Null, sondern ein von Null verschiedener Wert! Willst du nicht doch mein Beispiel nochmals durchdenken und das dann auf deine Aufgabe anwenden?

mY+

Sry, ich habe kein einziges Beispiel gemacht in welcher rechts keine 0 war....
Deshalb komme ich mir auch verloren vor, denn je öfter ich dein Beispiel durchlese desto verwirrender wird es für mich.....

Ich versuche nochmals ein Anlauf:
$\begin{eqnarray*} sin(\pi x)=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

ist äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} \pi x=arcsin(\frac{1}{\pi}) \end{eqnarray*}$

daraus wird:
$\begin{eqnarray*} x=arcsin(\frac{1}{\pi^2}) \end{eqnarray*}$

irgendwie kann das nicht sein traurig

07.06.2007, 20:47

mYthos

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Dein Anlauf war bis zur vorletzten Zeile gar nicht schlecht!

$\begin{eqnarray*} sin(\pi x)=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi x=arcsin(\frac{1}{\pi}) \end{eqnarray*}$

nur die letzte Zeile kann tatsächlich nicht sein, das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ darfst du nicht in das Argument hineinnehmen; vielmehr ist nun

$\begin{eqnarray*} x=\frac{arcsin(\frac{1}{\pi})}{\pi} \end{eqnarray*}$

So, den Zähler rechnest du aus und dividierst dann noch ... . Beachte beim Rechnen, dass der Winkel im Bogenmaß vorliegt und vergiss nicht auf zwei Dinge: Ermittle ALLE Lösungen, d.h. zum Hauptwert gibt's noch einen Nebenwert und denke auch an das Hinzufügen der Periodenlänge an der richtigen Stelle.

mY+

07.06.2007, 21:24

Ratloser

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Zitat:

Original von mYthos
Ermittle ALLE Lösungen, d.h. zum Hauptwert gibt's noch einen Nebenwert und denke auch an das Hinzufügen der Periodenlänge an der richtigen Stelle.

Gut als Ergebnis habe ich nun ~0,10 welches sich mit meinem vorliegenden Ergebnis deckt.....

Die einzige Frage wo mir noch bleibt ist wo die Periodenlänge dazu gehört, ich denke hier:

$\begin{eqnarray*} \pi x+\pi=arcsin(\frac{1}{\pi}) \end{eqnarray*}$

Forme ich das nach

$\begin{eqnarray*} x=\frac{arcsin(\frac{1}{\pi})-\pi}{\pi} \end{eqnarray*}$

um erhalte ich

~ - 0,89

laut meiner Lösung müsste dieser Wert possitiv sein, sprich ~0,9

Und entsprechend in die andere Richtung:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{arcsin(\frac{1}{\pi})+\pi}{\pi} \end{eqnarray*}$

~ 1,10

Lösung laut Unterlage:
~ - 1,10

Da ich meine Prüfungsbücher nicht schlechtreden möchte aber dennoch bislang der eine oder andere Fehler eingeschlichen hat, frage ich mich wer nun Recht hat?

07.06.2007, 22:31

mYthos

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Die Vielfachen der Periodenlänge sollten rechts beim Übergang auf arcsin stehen (sie können zwar auch links sein, aber dann kommen eben die negativen Lösungen). Dein Hauptfehler ist aber der, dass du für die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ gesetzt hast!! Deswegen sind deine Lösungen falsch. So wird's gemacht:

$\begin{eqnarray*} \pi x_1 = \arcsin (\frac{1}{\pi}) + 2k \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi x_2 = \pi - \arcsin (\frac{1}{\pi}) + 2k \pi = - \arcsin (\frac{1}{\pi}) + (2k + 1) \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist der Nebenwert, nach $\begin{eqnarray*} \sin x = \sin(\pi - x) \end{eqnarray*}$
___________________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{1}{\pi} \arcsin (\frac{1}{\pi}) + 2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1 - \frac{1}{\pi} \arcsin (\frac{1}{\pi}) + 2k \end{eqnarray*}$

___________________________________________________________________

Nun setzt du nacheinander k = 0, 1, 2, ... bis alle Lösungen im geforderten Intervall vorliegen.

$\begin{eqnarray*} k = 0: \ x_1 = 0,10312; \ x_2 = 0,89688 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 1: \ x_1 = 2,10312; \ x_2 = 2,89688 \end{eqnarray*}$

Falls negative Lösungen auch erwünscht sind:

$\begin{eqnarray*} k = -1: \ x_1 = -1,89688; \ x_2 = -1,10312 \end{eqnarray*}$

usw.

mY+

08.06.2007, 09:37

Ratloser

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Vielen Dank für die Geduld ich lerne zu verstehen.......

Diese Vorgehensweise dürfte dann ja bei Cosinus- und Tangensfunktionen entsprechend gleich sein ausser das die Periodenlänge und Winkelfunktion und spezielle Funktionsgegebenheiten abweichen...

08.06.2007, 15:18

Ratloser

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Wendepunkt?
Gut und wenn ich nun die Wendepunkte bestimmen möchte gehe ich dann exakt gleich vor?
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\pi^2cos(\pi x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\pi^2cos(\pi x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi x=arcos(0) \end{eqnarray*}$

So dürfte ich ja einen Cosinuswert nehmen und immer 2Pi abziehen/addieren um zum nächsten Punkt zu kommen

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{2}=-\pi \end{eqnarray*}$

Wenn ich rein Hypothetisch anstatt einer Sinuskurve jetzt eine Cosiuskurve hätte auf mein Beispiel angewendet.....

$\begin{eqnarray*} cos(\pi x)=\pi -1 \end{eqnarray*}$

Dann wäre die Hauptbedingung doch diese?
Denn auch die Cosinusfunktion hat eine Periodenlänge von 2Pi

$\begin{eqnarray*} \pi x_1 = \arccos (\frac{1}{\pi}) + 2k \pi \end{eqnarray*}$

Da bei der Sinuskurve der nächste Wert nach +/- Pi kommt und bei der Cosinuskurve nach +/- 1/2 Pi

Ist die Nebenbedingung:
$\begin{eqnarray*} \pi x_2 = \frac{\pi}{2} -arcos(\frac{1}{\pi})+2k \pi \end{eqnarray*}$

und zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{\pi}{2}* arccos(\frac{1}{\pi})+2k \end{eqnarray*}$

08.06.2007, 19:20

mYthos

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Am Anfang stimmt's, dann wird es (zum Schluss) immer unverständlicher. In deiner Lösung für die Wendepunkte fehlt ausserdem das x!

$\begin{eqnarray*} \pi x = \arccos(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi x = \frac{\pi}{2} + k \pi \end{eqnarray*}$

cos .. = 0 tritt hier ausnahmsweise alle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf, auch wenn die Periode des COS nicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist. So kannst du in diesem Fall Haupt- und Nebenwert (x1, x2) zusammenfassen!

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} + k \end{eqnarray*}$

mY+

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