Laurentreihen

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07.06.2007, 22:10	KleinerMuck	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihen hi, kennt jemand ne sammlung an beispielen wie man zu einer laurentreihe kommt? Habe Probleme mit diesen Kapitel.
07.06.2007, 22:19	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurentreihen wie wäre es mit einem buch über funktionentheorie? z.B. Remmert, Funktionentheorie I,II
07.06.2007, 23:05	KleinerMuck	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, hab bereits 2 Bücher. Aber sehe da kaum Beispiele drin. Bei welchen Typ einer Funktion lohnt sich mit einem Ansatz der auf die geometrische Reihe zuzurückgreift. wann taylor? wann andere reihen etc...
07.06.2007, 23:14	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
schau mal auf diese beiden links http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/au...rent_reihe.html http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/le...rent_reihe.html
07.06.2007, 23:35	KleinerMuck	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die beiden schönen links. habe zb. folgendes rausgesucht: f(z) = 1/(ln z)^2 (ln soll der hauptzweig des log. sein). will diese funktion als laurentreihe schreiben (0<\|z-1\|<1), also gerade um die polstelle. wie gehe ich zb hier vor? bei einem link stand es gibt folgende möglichkeiten : * direkte Berechnung der Koeffizienten * gliedweise Differentiation oder Integration bekannter Reihen * Koeffizientenvergleich * Summe oder Produkte bekannter Reihen * Substitution $ z\to\frac{1}{z-a}$ in bekannten Taylor-Reihen * Hintereinanderschaltung von Funktionen durch Einsetzen einer Reihe als Argument was ist denn hier das richtige? mir fehlt irgendwie noch das auge um sowas direkt zusehen, was sich eignet und was nicht.
08.06.2007, 10:05	KleinerMuck	Auf diesen Beitrag antworten »
Für 0<\|z-1\|<1 : $\begin{eqnarray} g(z) = \frac{z^4}{(1-z)^2} = z^4 \frac{1}{(1-z)^2} \end{eqnarray}$ Taylorentwicklung von z^4 im Punkt 1: $\begin{eqnarray} (z-1)^0 + 4(z-1)+ 6(z-1)^2+4(z-1)^3+(z-1)^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(z) = ((z-1)^0 + 4(z-1)+ 6(z-1)^2+4(z-1)^3+(z-1)^4)\frac{1}{(1-z)^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (z-1)^{-2} + 4(z-1)^{-1}+ 6(z-1)^0+4(z-1)^1+(z-1)^2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty }^\infty ~a_n(z-1)^n \end{eqnarray}$ mit a_n = 0 für \|n\| >2, a_n = 1 für \|n\|=2, a_n =4 für \|n\|=1 und a_0 = 6 1. Ist das so richtig? 2. Geht es auch einfacher?
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08.06.2007, 13:14	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde sagen, so ist die strategie richtig. man verwendet bekannte reihen, oder entwickelt "angenehme" funktionen in eine taylorreihe.
08.06.2007, 14:23	KleinerMuck	Auf diesen Beitrag antworten »
danke @ orakal habe die aufgabe ein wenig abgewandelt. $\begin{eqnarray} h(z) = \frac{z^4}{1-z^2}= \frac{z^4}{1+z} \frac{1}{1-z} = \frac{-z^4}{1+z} * \frac{1}{z-1} \end{eqnarray}$ für 0<\|z-1\|<1 jetzt dürfte ich doch den ersten Bruch in eine Taylorreihe umwandeln (weil diese funktion holomorph ist in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ausgenommen {-1}). ist das hier die richtige strategie, oder gehts einfacher?
08.06.2007, 14:38	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das darfst du
08.06.2007, 15:59	KleinerMuck	Auf diesen Beitrag antworten »
danke nochmal, orakel hab mich gerade schon gefreut alles verstanden zu haben, aber hier versage ich völlig: $\begin{eqnarray} f(z) = 1/(ln z)^2 \end{eqnarray}$ hab da schon eine stunde rumprobiert, irgendwelche einfacheren funktionen gesucht. was kann ich hier machen?

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