monotone funktion und die abzählbarkeit unstetiger punkte |
| 17.01.2005, 18:45 | oldwise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| monotone funktion und die abzählbarkeit unstetiger punkte Eine Funktion sein monoton. Zeigen Sie, dass die Menge der Punkte, an denen f (erklärt, aber) nicht stetig ist, abzählbar ist. Wo ist der Ansatz? Ich weiß das sie monoton ist und die Betrachtung in einem kompakten Intervall zu machen ist. Hilft mir aber nicht bzgl. der Abzählbarkeit. Oder? |
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| 17.01.2005, 19:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: monotone funktion und die abzählbarkeit unstetiger punkte Zunächst mal ist klar, dass dein f beschränkt ist. Als nächstes solltest du dir klar sein, dass an jeder Stelle im Inneren des Intervalls, also für x aus (a,b), sowohl der linksseitige als auch rechtsseitige Grenzwert der Funktionswerte existiert (warum?). Nach all diesen Vorbereitungen kommt der "Trick": Die Menge U der Unstetigkeitsstellen lässt sich als Vereinigung der Mengen U_n, n=1,2,3,... , darstellen, wobei Und da alle diese Mengen sogar endlich sind (warum?), ist ihre Vereinigung zumindest abzählbar. Anmerkung: Der Beweis ist so toll, der kann gar nicht von mir sein. 
EDIT: Ich sehe gerade, dass ich die eventuellen Unstetigkeitsstellen a und b "vergessen" habe. Aber wirklich tragisch ist das nicht, wenn zu abzählbar vielen noch zwei dazukommen... 
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| 17.01.2005, 19:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: monotone funktion und die abzählbarkeit unstetiger punkte
Ich kenne den aus dem Uralt-Göschen-Bändchen Mengenlehre von Erich Kamke. Ein Super-Büchlein, weil es ganz ohne den aufgeblasenen Formalismus, wie ihn die moderne axiomatische Mengenlehre kennzeichnet, auskommt und auf der Grundlage eines naiven Mengenbegriffs gleich zum Wesentlichen kommt. |
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| 17.01.2005, 23:51 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe den Beweis zum ersten mal und frage mich gerade, ob ich mit der Vermutung richtig liege, dass eine unendliche Menge U_n die Forderung nach Beschränktheit verletzen würde? |
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| 17.01.2005, 23:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann sogar direkt eine Abschätzung für die Kardinalität von U_n vornehmen: |
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| 18.01.2005, 05:07 | oldwise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für den Tipp. Knackpunkt ist ja, die Menge derartig zu formulieren. Da wäre ich von alleine nicht drauf gekommen. |
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