Integral von x²/WURZEL(x²-1)

07.06.2007, 23:08

Milkaschokolade

Integral von x²/WURZEL(x²-1)

Hallo!

Wir behandeln zur Zeit uneigentliche Integrale und müssen als HA folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} ~dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß einfach nie, wie ich bei solchen Aufgaben anfangen soll die Stammfunktion zu bestimmen. Ich habe es mit Substiution und mit partieller Integration versucht, es hat aber zu keinem Ziel geführt.

Die Stammfunktion lautet $\begin{eqnarray*} 0,5(\sqrt{x^2-1}*x+ln(x+\sqrt{x^2-1})) \end{eqnarray*}$

Kann mir jmd erklären, wie ich darauf kommen soll bzw. wie ich erstmal anfangen muss?

07.06.2007, 23:14

therisen

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Schau mal hier: Stammfunktion eines uneigentlichen Integrals Augenzwinkern

07.06.2007, 23:36

Milkaschokolade

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Vielen Dank für die Antwort.
Hab mich mal durch den angegeben Thread gewühlt, konnte da aber keine brauchbaren Infos finden, da es sich um einen anderen Nenner handelt. Wenn ich so wie da vorgehen würde, müsste ich eine Substitution u finden deren Ableitungs-Kehrwert dem Nenner meiner Integral-Funktion entspricht.
So eine Substiution finde ich aber leider nicht unglücklich

08.06.2007, 00:13

Calvin

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Das geht hier so ähnlich wie in dem verlinkten Thread. Hier hilft der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \cosh^2{u}-\sinh^2{u}=1 \end{eqnarray*}$ bzw. die Umformung $\begin{eqnarray*} \sinh^2{u}=\cosh^2{u}-1 \end{eqnarray*}$

Findest du jetzt die passende Substitution?

08.06.2007, 00:17

Milkaschokolade

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Sorry, ich weiß leider gar nicht was sinh und cosh ist. Das hatten wir noch nicht und ich glaub nicht, dass unser Prof das voraussetzt.

Es muss noch ne andere Lösung geben...

08.06.2007, 00:21

Leopold

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Manchmal lohnt es sich, ein gutes Gedächtnis zu haben. Ich bin mir fast sicher, daß du schon einmal in deinem Leben die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ (oder vielleicht $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$ oder ähnlich) abgeleitet hast: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{eqnarray*}$ . Und so ein Ergebnis muß man sich halt merken! Dann kommt man vielleicht auf die Idee, partielle Integration auf

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot x \end{eqnarray*}$

anzuwenden. So erklärt sich schon einmal der erste Summand der Lösung. Und die Integration von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ - sofern man dieses Integral nicht einfach in einer Formelsammlung nachschlagen will - wurde hier im Board schon oft behandelt. Du kannst es ähnlich wie hier angehen. Du mußt nur die Vorzeichen entsprechend ändern.

08.06.2007, 01:01

Milkaschokolade

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Also der angegebene Post hat mir schon sehr geholfen:

Habe das alles mal so gemacht und komme dann auf den Term

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{x^2-1} -\frac{1}{8}[u^2-4 ln(u)-\frac{1}{u^2}]_{1}^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hierher? Jetzt muss ich nur noch Rücksubstituieren...

08.06.2007, 09:02

klarsoweit

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Also etwas meerkwürdig sieht das schon aus. Vorne steht ein Term mit x, hinten ein Term mit u und Grenzen dran.

Am besten postest du mal deine Rechnung.

08.06.2007, 10:37

Leopold

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Wenn man die Grenzen wegläßt, ist das unbestimmte Integral richtig berechnet, sofern Milkaschokolade, was ich vermute,

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \, ; \ \ u \geq 1, x \geq 1 \end{eqnarray*}$

substituiert hat. Bei den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ -freien Gliedern kann man so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \left( u^2 - \frac{1}{u^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \right] \cdot \left[ \frac{1}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \right] \end{eqnarray*}$

Und die Terme in den eckigen Klammern sollten einem während der Substitutionsrechnung "über den Weg gelaufen sein". Man kann sie sofort durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Terme resubstituieren. Dann hat man noch $\begin{eqnarray*} \ln{u} \end{eqnarray*}$ . Hier bleibt einem nichts anderes übrig, als die Substitution nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Das ist ja auch nicht weiter schwierig und läuft auf eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ hinaus (höchstens das Vorzeichen der Wurzel könnte einem noch Kopfzerbrechen bereiten).

Man braucht übrigens nicht, wie in meinem vorigen Beitrag vorgeschlagen, mit partieller Integration zu beginnen. Man kann die Substitution gleich auf das Anfangsintegral loslassen. Auch dann bekommt man nach Vereinfachen ein Integral in Potenzen von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Ausprobieren!

08.06.2007, 15:41

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von Leopold
Dann hat man noch $\begin{eqnarray*} \ln{u} \end{eqnarray*}$ . Hier bleibt einem nichts anderes übrig, als die Substitution nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Das ist ja auch nicht weiter schwierig und läuft auf eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ hinaus (höchstens das Vorzeichen der Wurzel könnte einem noch Kopfzerbrechen bereiten).

Ich bin jetzt genau an der Stelle, alle anderen Tipps konnte ich erfolgreich anwenden. Aber ich kriege die Formel
$\begin{eqnarray*} x=(0,5(u+\frac{1}{u}) \end{eqnarray*}$ nicht nach u umgestellt!

Ist wahrscheinlich sehr einfach, aber ich komm trotzdem nicht drauf...

08.06.2007, 15:53

therisen

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Du hast $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2x=u+\frac1u \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} u+\frac1u=\frac{u^2+1}u \end{eqnarray*}$ . Es folgt daher $\begin{eqnarray*} 2xu=u^2+1 \end{eqnarray*}$ . Das ist eine quadratische Gleichung in u Augenzwinkern

Gruß, therisen

08.06.2007, 16:01

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von Leopold
(höchstens das Vorzeichen der Wurzel könnte einem noch Kopfzerbrechen bereiten).

Genau das tut es. Habe jetzt (dank therisen :-)) folgendes:

$\begin{eqnarray*} u = x \pm \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Woher weiß ich jetzt (wenn ich die Stammfunktion vorher nicht vorgegeben hab, welches Vorzeichen die Wurzel hat?

08.06.2007, 16:06

therisen

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Denk mal drüber nach smile

08.06.2007, 16:09

Milkaschokolade

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Ja ok, dann ist es klar, dass es das + sein muss.
Nur: Warum genau ist der Term mit dem - immer kleiner 0? Kann ich das irgendwie nachweisen oder geht das nur durch ausprobieren?

08.06.2007, 17:14

therisen

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Das ist er nicht. Er ist kleiner als 1. Tatsächlich gilt

$\begin{eqnarray*} x-\sqrt{x^2-1}<1 \qquad \text{für } x>1 \end{eqnarray*}$ ,

denn $\begin{eqnarray*} x-1<\sqrt{x^2-1} \Leftrightarrow \sqrt{x-1}<\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

08.06.2007, 17:28

Milkaschokolade

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Aja stimmt, kleiner als 1...

Aber irgendwie hab ich jetzt immer noch nicht verstanden, warum ich den Term mit dem + nehmen muss. Mir ist klar, dass der ln nur für Zahlen > 0 definiert ist. Also kann man eh nur x-Werte, die größer bzw. gleich 1 sind einsetzen, da beide Funktionen im Bereich von 0 bis 1 nicht definiert sind...

08.06.2007, 17:29

therisen

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \, ; \ \ u \geq 1, x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Deshalb

08.06.2007, 17:34

Milkaschokolade

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Naja, ich hab zwar die angegebene Substituion benutzt, aber eigentlich nicht drüber nachgedacht, ob $\begin{eqnarray*} u\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein muss...

Verstehe auch nicht, warum das so sein muss und was das ganze dann mit dem Wurzelvorzeichen zu tun hat traurig

.

EDIT: Wenn ich in meine Substituition z.B. u = 1 einsetzt kommt x = 0,5 raus. Das stimmt aber dann wieder nicht mit $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ überein :-(.

08.06.2007, 17:41

therisen

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
EDIT: Wenn ich in meine Substituition z.B. u = 1 einsetzt kommt x = 0,5 raus. Das stimmt aber dann wieder nicht mit $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ überein :-(.

Nein. Rechne nochmal.

08.06.2007, 18:16

Milkaschokolade

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Ok, ihr habt Recht.

Kann ich jetzt folgendes schreiben:

$\begin{eqnarray*} u\geq 0 \end{eqnarray*}$ (wegen dem ln)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \pm \sqrt{x^2-1}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} x \pm \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ sind von $\begin{eqnarray*} 1<x<1 \end{eqnarray*}$ nicht definiert

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \pm \sqrt{x^2-1}\geq 1 \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} x-\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u=x + \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ ?

EDIT: Und könnt ihr mir das Ergebnis 2,39 bestätigen?

08.06.2007, 20:38

Leopold

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Das ist alles ein bißchen durcheinander bei dir. Da kommt so etwas Halbrichtiges, dann etwas Falsches, schließlich wieder etwas Richtiges - insgesamt ist alles damit falsch. Ich weiß daher gar nicht, wo ich anfangen soll.

Vielleicht lieber noch einmal etwas zum Grundsätzlichen.

Der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ definiert. Weil deine Integrationsgrenzen aber $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ sind, interessiert nur der erste Fall. Halten wir daher fest: Wir betrachten

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Wenn wir jetzt die Substitution

$\begin{eqnarray*} u \mapsto x = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$

einführen, müssen wir uns über die Zulässigkeit und die Rahmenbedingungen dieser Substitution unterhalten. Beim Berechnen der Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{u^2} \right) \end{eqnarray*}$

die man ja sowieso braucht, erkennt man fast ohne Rechnung, daß diese für $\begin{eqnarray*} 0<u<1 \end{eqnarray*}$ negativ und für $\begin{eqnarray*} u>1 \end{eqnarray*}$ positiv ist. Die Funktion $\begin{eqnarray*} u \mapsto x \end{eqnarray*}$ hat also ihren tiefsten Wert bei $\begin{eqnarray*} u=1 \end{eqnarray*}$ , und er ist gerade $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ (einsetzen und berechnen). Sowohl das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ als auch das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ wird daher bijektiv auf das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ abgebildet (Randverhalten untersuchen). Wir müssen uns daher entscheiden. Entweder nehmen wir

$\begin{eqnarray*} u \mapsto x = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) ; \ \ u \geq 1 , \, x \geq 1 \end{eqnarray*}$

als Substitution, oder wir nehmen

$\begin{eqnarray*} u \mapsto x = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right) ; \ \ 0 < u \leq 1 , \, x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Beides ist möglich. Wir haben uns für die erste Möglichkeit entschieden. Beim Auflösen nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist also dasjenige Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, für das die Werte von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ausfallen. Und das ist das positive Vorzeichen. Denn von den beiden Werten $\begin{eqnarray*} x \pm \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ muß ja einer im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ und einer im Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ liegen (siehe oben die kleine Kurvendiskussion). Und das Pluszeichen liefert nun einmal von beiden Werten den größeren.

Hätten wir uns für die zweite Möglichkeit der Substitution entschieden, müßte man beim Auflösen nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ das negative Vorzeichen wählen. Allerdings gälte dann auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} = - \frac{1}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$ , während in deiner Rechnung (die du für dich gemacht hast) ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$ richtig ist. Wahrscheinlich hast du darüber gar nicht nachgedacht, sondern "zufällig" das richtige Vorzeichen gewählt. Stimmt's? Augenzwinkern

Ich gebe zu, daß man beim praktischen Rechnen mit Substitutionen sich ganz selten so ausführliche Gedanken über die Rahmenbedingungen macht, sondern einfach darauf losrechnet. Das mache ich auch so. Aber ich prüfe dann auch das Ergebnis der Rechnung durch Ableiten auf Richtigkeit (CAS). Dann fällt einem solch ein Vorzeichenfehler auf.

08.06.2007, 21:24

Milkaschokolade

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Erstmal danke für die sehr ausführliche Erklärung. Hab etwas gebraucht, bis ich ein wenig durchgestiegen bin und hab jetzt auch noch ein paar Fragen dazu

Zitat:

Original von Leopold
Sowohl das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ als auch das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ wird daher bijektiv auf das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ abgebildet (Randverhalten untersuchen). Wir müssen uns daher entscheiden.

Was genau meinst du damit. Das vorhergehende hab ich alles verstanden, nur weiß ich nicht, was das mit dem "abbilden" bedeutet bzw.: Warum muss ich mich entscheiden für welche u's ich die Substitution gelten lasse? Wahrscheinlich hast du das alles schon gerade erklärt, aber vielleicht nochmal kurz mit anderen Worten?

Zitat:

Original von Leopold
Hätten wir uns für die zweite Möglichkeit der Substitution entschieden, müßte man beim Auflösen nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ das negative Vorzeichen wählen.

Das ist verständlich!

Zitat:

Original von Leopold
Allerdings gälte dann auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} = - \frac{1}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich wiederum nicht :-(

Zitat:

Original von Leopold
, während in deiner Rechnung (die du für dich gemacht hast) ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right) \end{eqnarray*}$ richtig ist.
Wahrscheinlich hast du darüber gar nicht nachgedacht, sondern "zufällig" das richtige Vorzeichen gewählt. Stimmt's? Augenzwinkern

Ja, irgendwie stimmt wohl. Bzw. ich verstehe gar nicht so genau worauf du hinaus willst. Es gab doch nur die eine Möglichkeit. Ich hab doch einfach konsequent für das x die Substitution eingesetzt. Da es sich bei den beiden "Fällen" um die gleich Substitution (bis auf die Werte für u...) handelt, müsste doch bei beiden das rauskommen, was ich raus hatte, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-1} =\frac{1}{2} (u-\frac{1}{u}) \end{eqnarray*}$ .

Hoffe ihr versteht was ich nicht verstehe. Danke für die große Mühe!

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