funktional-ableitung

17.01.2005, 18:33

topspin

funktional-ableitung

hoi folks --

eine frage bleibt nach gelegentlichem selbststudium offen, was funktionale und deren ableitungen angeht... zugegeben, besonders gut informiert bin ich nicht, daher bin ich auch dankbar auf literaturhinweise jeder art, von denen ihr glaubt, dass sie mir irgendwie weiterhelfen. ;-)
also, gegeben ist ein funktional F[f(x)], wobei meinetwegen alle bedingungen gegeben sind, die zur sinnvollen beantwortung der frage notwendig sind. (zugegeben, besonders exakt ist das nicht... ;-))

man liest, das differerential von F[f(x)] sei
$\begin{eqnarray*} \delta{F[f(x)]}=\int\frac{\delta F[f(x)]}{\delta f(x)}\delta f(x) dx \end{eqnarray*}$
d.h., das ist praktisch ein totales differential, ausgeweitet auf eine funktion von kontinuierlichen variablen... ?! und das ist der punkt, wo ich halt aussteige... wo kommen denn auf einmal die kontinuierlichen variablen her? ich meine, ein Wert von x bedingt doch nur bestimmte werte von f(x), wenn meinetwegen nicht eine, aber doch nicht unendlich viele, oder was? insofern verstehe ich diese ausweitung auf eine funktion von kontinuierlichen variablen nicht?! kann mir das irgendjemand anschaulich oder verständlich machen, vielleicht in worten? darüber, wie man die funktional-ableitungen ausrechnet, kann man dann später reden, wie ich finde...
vielleicht kann mir jemand helfen?

bis auf weiteres schon mal vielen dank an alle beteiligten,
grüsse,

t.

18.01.2005, 12:34

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RE: funktional-ableitung
Das Integralzeichen und das dx rechts halte ich für Unfug, bitte streichen. Ansonsten steht da, mit anderer Symbolik zwar, nichts weiter als die Kettenregel der Differentation.

18.01.2005, 14:29

topspin

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RE: RE: funktional-ableitung
hm... verwirrt

no offense, Arthur, aber das befriedigt mich noch nicht 100%ig...
vielleicht kannst du mir 'nen tipp geben, vielleicht eine art lehrbuch oder so, wo das mal vernünftig und ausführlich erklärt wird?
das, was ich über funktional-ableitungen weiss -- also de facto nichts, ausser dass es das gibt Augenzwinkern

--, hab' ich aus 'nem mathematischen anhang aus 'nem buch über dichtefunktional-theorie, und der ist in seiner natur als anhang halt recht knapp. mit keinem wort will ich gegen dein statement argumentieren, aber der anhang macht schon sinn, so wie er da steht... *sigh*
es ist alles ein elend...

jedenfalls, ich wäre dankbar für lehrbuch-empfehlungen, vielleicht gibt's da ja was.

bis dahin, grüsse,

t.

18.01.2005, 15:30

iammrvip

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RE: funktional-ableitung

Zitat:

Original von topspin
man liest, das differerential von F[f(x)] sei
$\begin{eqnarray*} \delta{F[f(x)]}=\int\frac{\delta F[f(x)]}{\delta f(x)}\delta f(x) dx \end{eqnarray*}$

Eine Anmerkung: Der "Buchstabe" des partiellen Differentialquotienten, den man "rundes d" nennt, ist kein gr. Delta!! Das ist ein weit verbreiteter Fehler.

$\begin{eqnarray*} \partial F[f(x)] = \int\frac{\partial F[f(x)]}{\partial f(x)}\partial f(x) \mathrm dx \end{eqnarray*}$

Bitte denkt ich nicht, dass das böse gemeint ist. Das ist nur ein Hinweis.

Man erhält das Zeichen über den Befehl \partial in TeX Augenzwinkern

19.01.2005, 22:16

WebFritzi

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Was ist denn bei dir ein Funktional? Ist es eine Abbildung, die Funktionen in Zahlen überführt? Und möglichst auch linear und stetig ist?

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} F: L^1[0,1]\to\mathbb{R}\,,\, f\mapsto\int_0^1 f(t)\,dt \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung ist linear (sieht man sofort) und stetig wegen

$\begin{eqnarray*} |F(f)| = \biggl| \int_0^1 f(t)\,dt \biggr| \le \int_0^1 |f(t)|\,dt = \| f \|_{L^1}\,. \end{eqnarray*}$

20.01.2005, 12:37

topspin

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ich denke schon... ich geb' vielleicht sicherheitshalber mal ein beispiel aus der physik, die dahintersteht (die aber nicht wichtig ist):

$\begin{eqnarray*} J[\rho(\mathbf{r})]=\iint \frac{\rho(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|} d\mathbf{r}d\mathbf{r}^{\prime} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \rho: \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}, \quad \mathbf{r}\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} J: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (obwohl ich mir, glaube ich, gerade dabei nicht soo sicher bin...)

jedenfalls, in besagtem anhang steht dann neben dem ausdruck für die funktional-ableitung, den ich anfangs hier gepostet habe, als eine art beispiel für das funktional hier oben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta J[\rho(\mathbf{r}]}{\delta \rho(\mathbf{r}]}=\int\frac{\rho(\mathbf{r})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}d\mathbf{r}^{\prime} \end{eqnarray*}$

(dabei weise ich ausdrücklich darauf hin, dass da das delta anstelle von dem \partial-delta verwendet wird, ich halt's auch für weniger sinnvoll, aber das muss nichts heissen, dass ich das weniger sinnvoll finde... ;-))
jedenfalls -- mit der "anleitung", d.h. dem allgemeinen ausdruck für die funktional-ableitung ganz oben, kann ich das ergebnis nicht reproduzieren, kettenregeln und so kenn' ich halt schon irgendwie, hilft mir aber nicht richtig weiter... :-|
abgesehen davon -- anschaulich machen kann ich mir das nicht, wie gesagt, warum das funktional hier eine funktion von kontinuierlichen variablen sein soll, bleibt mir nach wie vor verschlossen... bis auf weiteres geh' ich aber davon aus, WebFritzi, dass meine funktionale linear und stetig sind, und abbildungen von funktionen auf zahlen sind.
hoffentlich hilft's dir weiter, dass du mir weiterhelfen kannst... ;-) ;-) :-P

thnx, cu

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