"Mittelwert einer Funktion"

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08.06.2007, 06:56

SoulAssassinXT

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"Mittelwert einer Funktion"

Hallo Leute Wink

!

Erstmal möchte ich erwähnen, das dieses Forum wirklich sehr gelungen ist. Weiter so Freude

!

Also zu meiner Frage:

Ich soll eine GFS über das Thema "Mittelwert einer Funktion" halten. Ich hab aber keine Ahnung wie man den berechnet. In unserem aktuellen Mathe-Schulbuch steht zwar drin wie, jedoch unnötig kompliziert, sodass ich große Schwierigkeiten hab es zu verstehen verwirrt

.

Kann einer vielleicht kurz erklären wie Lehrer

?

Danke schonmal im voraus Tanzen

08.06.2007, 08:22

klarsoweit

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RE: "Mittelwert einer Funktion"
Dann schreib doch estmal, was in deinem Schulbuch steht. Vielleicht läßt sich damit doch noch etwas anfangen. Augenzwinkern

08.06.2007, 10:54

SoulAssassinXT

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RE: "Mittelwert einer Funktion"
OK .

Also:

Erstmal wird in ein Beispiel eingeführt:

"Starke Regenfälle führten am 04.01.2003 zu einem Hochwasser an der Brenz (nördlicher Nebenfluss der Donau).

Die Grafik (Nach unten geöffnete, stetige Parabel, mit Messungen bei jedem 6. Wert bzw. jeder 6. Stunde) gibt den Pegelstand wieder.

Zeit in h Wasserstand in m
0 2
6 3.5
12 4.5
18 4.2
24 3.1

WELCHEN MITTLEREN PEGELSTAND HATTE DIE BRENZ AM 04.01.2003? (Notieren Sie Ihre Vermutung für später)."

So. Bis dahin ist ja alles leicht verständlich. Dann wird das Thema näher erläutert.

"Wir wollen den Mittelwert einer beliebigen Funktion f(x), x ELEMENT von [a;b] - - -(Was heißt das nochmal?)- - -, festlegen und dann auf unser obiges Besipiel zurückkommen.

Ab hier versteh ich nichts:

Zunächst können wir das Intervall [a;b] in n gleiche Unterintervalle mit der länge ∆x=(b-a)/n (Versteh ich nicht) aufteilen. In jedem der n Teilintervalle berechnen wir für die Intervallmitten:

x_1=a+((∆x)/2);
x_2=a+((3∆x)/2);
x_3=a+((5∆x))/2);
...
x_i=a+((2i-1)/2)∆x;
x_n=a+((2n-1)/2)∆x;

die funktionswerte f(x1), f(x2), f(x3), ... f(xi), ... f(xn).

Für diese Funktionswerte bilden wir das arithmetische Mittel:

y(mit Strich oben drüber)=(f(x1), f(x2), f(x3), ... f(xi), ... f(xn))/n
y(mit Strich oben drüber)=(1/n)∑_(i=1)^n▒〖f(xi)&#12311 traurig

Kapier ich überhaupt nicht)

Wenn wir in unserem Beispiel n=24 wählen, dann bedeuten f(x1), f(x2) ... die Wasserhöhen zu den Zeiten ti: 00:30; 01:30; 02:30; ... ; 23:30.

Da ∆x=(b-a)/n ist, gilt auch n=(b-a)/∆x und der Mittelwert kann umgeformt werden:

y(mit Strich oben drüber)n=(f(x1), f(x2), f(x3), ... f(xi), ... f(xn))/((b-a)/∆x)
y(mit Strich oben drüber)n=(1/(b-a))*[f(xy)∆x+f(x2)∆x+ ... + f(xi)∆x+ ... + f(xn)∆x]
y(mit Strich oben drüber)n=(1/b-a)∑_(i=1)^n▒〖f(xi)∆x〗

Wenn wir jetzt wieder n gegen Unendlich gehen lassen (z.B. die Wasserstände in jeder Minute ermitteln), erhalten wir für den Grenzwert:

y(mit Strich oben drüber)=lim&#9516 traurig

n→&#8734 Augenzwinkern

⁡&#12310 traurig

1/(b-a))*〗 ∑_(i=1)^n▒〖f(xi)∆x=(1/(b-a))〗*∫_a^b▒f(x)dx

Wir haben unser Ziel erreicht und können nun festlegen:

Wenn eine Funktion f auf dem Intervall [a;b] stetig ist, dann heißt
y(mit Strich oben drüber)=(1/(b-a))*∫_a^b▒f(x)dx
der Mittelwert der funktionswerte von f auf dem Intervall [a;b].

Die Rechtecksfläche (b-a)*y(mit Strich obern drüber) entspricht dem Intergral ∫_a^b▒f(x)dx

Haben Sie zu Beginn den mittleren Pegelstand richtig geschätzt?

y(mit Strich oben drüber)=(1/(24-0))*∫_0^24▒〖2 sin&#8289 traurig

0,13t-026)+2,5)dt〗
y(mit Strich oben drüber)=(1/24)[-(2/0,13)cos(0,13*t-0,26)+2,5t)](oben24)(unten0)
y(mit Strich oben drüber)=(1/24)(74,7787+14,8675)=3,74y

So, puh. Jetzt kann sich einer vorstellen wieso ich die Aufgabe nicht gleich hier reingeschrieben hab. Also das scheint sogar hier sehr verwirrend zu sein... Was ich halt gerne "verstehen" würde, wäre so ziemlich der ganze letzte Abschnitt, zumindest die wichtigsten Punkte, die ich bei einer GFS unbedingt wissen sollte. Und vor allem was bedeutet dieses y(mit Strich oben drüber)??? Ach ja, ich soll schriftlich 5-10 Seiten eigenständigen Text abliefern, OHNE Beckblatt, Inhaltsverzeichnis, Quellenverzeichnis, Anhang und ERKLÄRUNG).
Was könnte denn alles da rein?

OK, jetzt seid ihr dran, kann einer helfen? DANKE IM VORAUS!!!!!!

08.06.2007, 10:57

SoulAssassinXT

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RE: "Mittelwert einer Funktion"
Sorry einige Programmierfehler sind drin. Bei Unklarheit, einfach fragen. Und falls jemand das Buch selber Hat:

"Mathematik - Jahrgangsstufe 1 Berufliches Gymnasium"
von Benz Deissenrieder, winklers verlag.

08.06.2007, 11:24

klarsoweit

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RE: "Mittelwert einer Funktion"
Leider enthält der Text irgendwelche Zeichen, die man nicht lesen kann. Wenn du registriert wärest, könntest du eigene Beiträge verbessern. Augenzwinkern

Also ich versuche mal eine Erklärung.

Zitat:

Original von SoulAssassinXT
"Wir wollen den Mittelwert einer beliebigen Funktion f(x), x ELEMENT von [a;b] - - -(Was heißt das nochmal?)- - -, festlegen und dann auf unser obiges Besipiel zurückkommen.

Worauf bezieht sich deine Frage? Also Mittelwert ist prinzipiell klar, oder?
Der Mittelwert von 2 y-Werten y_1 und y_2 ist $\begin{eqnarray*} \overline{y} = \frac{y_1 + y_2}{2} \end{eqnarray*}$
Der Strich oberhalb dem y sagt, daß es ein Mittelwert ist.

Hat man nun n y-Werte, dann ist der Mittelwert:

$\begin{eqnarray*} \overline{y} = \frac{y_1 + y_2 + ... + y_n}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun den Mittelwert einer Funktion über einem Intervall [a; b] berechnen will, dann müßte man sozusagen alle möglichen Funktionswerte aufaddieren und dies durch die Anzahl dividieren. Da es beliebig viele Funktionswerte gibt, wäre das etwas mühsam. Aber wir sind ja schlau. Augenzwinkern

Wir multipliziren die letzte Formel mit der Intervalllänge b-a und erhalten:

$\begin{eqnarray*} (b-a) \cdot \overline{y} = \frac{b-a}{n} \cdot (y_1 + y_2 + ... + y_n) \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite werden nun Funktionswerte mit gleich langen Abschnitten auf der x-Achse multipliziert. Wir haben da also die Summe von vielen Rechteckflächen. Damit entspricht die rechte Seite der Ober- bzw. Untersummenformel eines Integrals und zwar des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ . Wir können also als Mittelwert einer Funktoin festlegen:

$\begin{eqnarray*} (b-a) \cdot \overline{y} = \int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \overline{y} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Alles klar?

08.06.2007, 11:52

SoulAssassinXT

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RE: "Mittelwert einer Funktion"
Danke erstmal für die schnelle und klare Antwort! Big Laugh

Ja, beim eingeben, sah alles "ein bisschen" anders aus. Wie hast du das so schön hinbekommen verwirrt

?

Ja soweit hab ich es dank deiner Hilfe verstanden Tanzen

. Und so lansgsam wird das im Buch auch immer klarer. Aber auf das Beispiel oben bezogen, b wäre gleich 24? Und a=0? Und n jeweils die Intervallabschnitte? Wenn ja hab ich es verstanden. Tanzen

Natürlich frag ich mich jetzt wie ich 5 Seiten reinen Text zu diesem Thema verfassen soll... verwirrt

Ich Studier das ganze mal im Buch etwas genauer und stell meine Fragen eventuell.

Danke dir Gott

08.06.2007, 12:07

klarsoweit

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RE: "Mittelwert einer Funktion"

Zitat:

Original von SoulAssassinXT
Ja, beim eingeben, sah alles "ein bisschen" anders aus. Wie hast du das so schön hinbekommen verwirrt

Klicke auf "Zitat" und du siehst den Latexcode. Augenzwinkern

Zitat:

Original von SoulAssassinXT
Aber auf das Beispiel oben bezogen, b wäre gleich 24? Und a=0? Und n jeweils die Intervallabschnitte? Wenn ja hab ich es verstanden. Tanzen

Genau.

Zitat:

Original von SoulAssassinXT
Natürlich frag ich mich jetzt wie ich 5 Seiten reinen Text zu diesem Thema verfassen soll... verwirrt

Am besten ganz ausführlich die ganzen Rechenschritte erklären.

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