LinAlg-Beweis: Eigenwerte der k-ten Potenz einer Matrix

17.01.2005, 21:00	ratte	Auf diesen Beitrag antworten »
LinAlg-Beweis: Eigenwerte der k-ten Potenz einer Matrix Beweisaufgabe: Beweisen Sie, dass für eine beliebige n X n - Matrix M mit eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und zugehörigem Eigenvektor $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ folgendes gilt: (i) $\begin{eqnarray} \lambda^k \end{eqnarray}$ ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} M^k (k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und x ein zugehöriger Eigenvektor. (ii) Ist M invertierbar, so ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} M^{-1} \end{eqnarray}$ und x ein zugehöriger Eigenvektor. Ich weiss nicht, wie ich anfangen soll bzw. mit welchem Ansatz ich zum Ziel komme. Danach wird es wahrscheinlich nur n'bisserl rumgerechne sein...
17.01.2005, 21:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LinAlg-Beweis: Eigenwerte der k-ten Potenz einer Matrix Alles, was du brauchst, ist die Eigenvektor/Eigenwert-Gleichung $\begin{eqnarray} M\cdot x=\lambda x \end{eqnarray}$ (Ich hab jetzt einen Rechts-Eigenvektor x angenommen. Für Links-Eigenvektoren läuft der Beweis ziemlich analog). Und jetzt musst du nur noch ein wenig damit jonglieren: Bei a) z.B. mehrfach M von links dranmultiplizieren...

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