Skalarprodukt

08.06.2007, 18:17	Mills	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt Hallo, bei folgenden Aufgaben zum Skalarprodukt bräuchte ich mal eure Hilfe: 1. Es sind die Komponenten von drei Vekoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ gegeben. Zunächst sollte ich zeigen, dass die Vektoren einen Würfel aufspannen (-> alle drei Vektoren sind zueinander orthogonal, ist klar), nun soll ich aber die "Größen der Winkel, die von je zwei Raumdiagonalen eingeschlossen werden" ermitteln. Wie berechne ich die Raumdiagonalen? 2. In einer anderen Aufgabe ist ein Dreieck $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ gegeben mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray} a=5 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=6 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c=7 \end{eqnarray}$ . Wie kann ich daraus die Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ berechnen? Hier fehlt mir ein Ansatz... 3. Als letztes noch folgende Aufgabe: "Berechne im Viereck $\begin{eqnarray} ABCD \end{eqnarray}$ die Seitenlängen und die Größen der Innenwinkel! $\begin{eqnarray} A(-1\|-3) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B(6\|-2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C(2\|1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} D(3\|-6) \end{eqnarray}$ ." Hier ist sind ja $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ orthogonal. Wenn ich die Seitenlängen berechnen will, muss ich dann erst die Verbindungsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{CD} \end{eqnarray}$ bilden und dann die Beträge berechnen? Welche Innenwinkel sind hier gemeint?
08.06.2007, 20:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! 1. Das ist sicher nicht der vollständige Aufgabentext. Nimm der Einfachheit halber die drei Vektoren als (1;0;0), (0;1;0) und (0;0;1) an, dann ist es leicht, zwei Raumdiagonalen und deren Winkel zu ermitteln! 2. Stichwort: COS-Satz 3. Die Orthogonalität der Ortsvektoren zu den Punkten des Viereckes bringt hier nichts. Du musst schon - wie erwähnt - die Beträge der Seitenvektoren berechnen. Innenwinkel: Wie bei 2. Zerlege das Viereck in zwei Teildreiecke. Bemerkung: Bitte normalerweise nur eine bzw. maximal zwei Aufgabe(n) pro Thema eröffnen! mY+
08.06.2007, 21:00	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey diese Formel ist sicherlich sehr hilfreich $\begin{eqnarray} cos(\alpha )=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\mid \vec{a} \mid \cdot \mid \vec {b} \mid } \end{eqnarray}$ a) also einfach ganz fröhlich einsetzen und schauen was passiert.... b) hier funktioniert das ähnlich, 2 winkel berechnen, den dritten am einfachsten mithilfe des winkelsummensatzes berechnen. c) dein ansatz stimmt innenwinkel sind dann die, die von deinen vektoren eingeschlossen werden, also bspw der winkel, der von $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray*}$ eingeschlossen wird. hier musst du etwas vorsichtig sein, damit du nicht den gegenwinkel berechnest, aber wenn du deine ergbnisse sinnvoll interpretierst sollte das nciht allzu große schwierigkeiten machen ~räumt das feld und schaut zu~ übrigens schön, dass du latex benutzt.
09.06.2007, 13:50	Mills	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal. Aber irgendwie komme ich noch nicht ganz weiter, hier mal die genaue Aufgabenstellung. "Zeige, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ einen Würfel aufspannen! Ermittle die Größen der Winkel, die von je zwei Raumdiagonalen eingeschlossen werden!" $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ~ \vec{b}=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}~\vec{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zunächst zeige ich ja, dass für alle gilt: $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \end{eqnarray}$ usw. und berechne dann jeweils die Längen, die alle gleich sein müssen. Aber wie geht das mit den Raumdiagonalen? Ich weiß nicht genau wie ich mir das vorstellen soll. Ich glaube eine Raumdiagonale ist schon mal: $\begin{eqnarray} \vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich die zweite berechnen? Danach könnte ich ja dann mit dem Skalarprodukt einfach den eingeschlossenen Winkel berechnen.
09.06.2007, 14:17	Mills	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab's mir mal aufgezeichnet und glaube, dass die "obere Ecke" des Würfels durch den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{d}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dargestellt werden kann, womit ich dann als zweite Raumdiagonale $\begin{eqnarray} \vec{OD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hätte. Bin mir aber ziemlich unsicher!
09.06.2007, 23:30	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich habe mir überlegt, dass $\begin{eqnarray} \vec{OD}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \end{eqnarray}$ ist, D sei der, dem Ursprung gegenüber liegende Punkt bzw $\begin{eqnarray} \vec{EF}=\vec{b}+\vec{c}-\vec{a} \end{eqnarray}$
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10.06.2007, 11:01	Mills	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, wie bist du darauf gekommen?

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