Vollst. Indukt.: Quadrate ungerader Zahlen sind x*8+1

08.06.2007, 20:39

Saiteninstrument

Vollst. Indukt.: Quadrate ungerader Zahlen sind x*8+1

Guten Tag, allerseits!

Seit einigen Tagen quäle ich mich vergeblich damit ab, einen Vollständige-Induktion-Beweis für folgenden Sachverhalt zu erstellen:

3²=1*8+1
5²=3*8+1
7²=6*8+1
9²=10*8+1
.
.
.

Mein Mathelehrer hat von mir zwecks Referat verlangt, ich solle in einer vollständigen Induktion beweisen, dass alle Quadrate von ungeraden Zahlen größer/gleich drei mit x*8+1 darstellbar wären.
Mein Konzept sah in etwa so aus:
n=natürliche Zahl, größer/gleich drei und ungerade

n²=x*8+1

Induktionsanfang:

n=3 => 9=1*8+1 => richtig

Induktionsschritt:

(n+2)²=((8x+1)^(1/2)+2)²
damit bin ich aber leider rechentechnisch nicht sinnvol weitergekommen. Zudem scheint es bei diesem x die Regelmäßigkeit zu geben, dass die Differenz des x zu dem des Vorgängerterms sich pro Term um 1 vergrößert, wenn verständlich ist, was ich meine.
Folglich habe ich versucht, mir irgendwas mit
(n+2)²=(x+(x+1))*8+1
daherzukonstruieren. Das halte ich allerdings erstens für nicht ganz korrekt und zweitens komme ich auch hier rechentechnisch nicht weiter, weil mir nicht ganz klar ist, worauf die Termumformung abzielt bzw. was genau damit dargestellt sein muss.

Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir hier weitergeholfen werden könnte!

Mit Grüßen,
Saiteninstrument

P.S.: Ich entschuldige mich für das Rumgewusel mit ^(1/2) und Ähnlichem, womit ich versucht habe, eine Wurzel darzustellen, weil ich keine Tastenkombination für sowas kenne und auch mein Javascript abgestellt ist, sodass ich die Funktionen, die mir hier rein theoretisch mit diversen angefügten Buttons zur Verfügung stehen, leider nicht nutzen kann.

08.06.2007, 20:56

tmo

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es ist:

$\begin{eqnarray*} (n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 = n^2 + 4(n+1) = 8x + 1 + 4(n+1) \end{eqnarray*}$
wobei x irgendeine ganze zahl ist.

jetzt betrachte mal den term $\begin{eqnarray*} 4(n+1) \end{eqnarray*}$ .

du weißt dass n ungerade ist. also ist n + 1 gerade. also kannst du n+1 = 2z schreiben, wobei z eine ganze zahl ist.

dann musst du nur noch 4 mit 2z multiplizieren und dann hast du die lösung.

08.06.2007, 20:57

system-agent

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was ist denn allgemein eine ungerade zahl?
für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ liefert der ausdruck $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ stets eine ungerade zahl.

den induktionsanfang hast du schon gemacht.
sei nun die behauptung für eine ungerade zahl $\begin{eqnarray*} 2n_0+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n_0\geq 1 \end{eqnarray*}$ bereits gültig.
nun beginne:
$\begin{eqnarray*} (2\cdot(n_0+1)+1)^2=... \end{eqnarray*}$

08.06.2007, 21:22

Saiteninstrument

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Ohgottogott! Aaalso!

An tmo:
Vielen Dank erstmal ganz förmlich für die Antwort!
Ich habe so rein logisch verstanden, was du meinst, aber dass das schon die Lösung ist kann ich irgendwie nicht nachvollziehen. Wenn ich das richtig verstanden habe, kommt nach deiner Anleitung
8z+8x+1
raus. Aber suche ich nicht eher nach einem Term in der Art
8z*8x+1
?

An system-agent:
Auch dir erstmal ein Dankeschön!
Meinst du, dass ich einfach das kompliziert definierte n mit einem
2*(n0+1)
ersetzen soll? Oder habe ich dich falsch verstanden?

Mit Grüßen,
Saitensinstrument

08.06.2007, 21:41

system-agent

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nein, ich sagt für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ eine ungerade zahl, demnach ist mit $\begin{eqnarray*} 2(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ der nachfolger von $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ gemeint, also das was du bei der vollständigen induktion brauchst

nun für den induktionsschritt betrachtest du ja genau den fall für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , also das was ich schon hingeschrieben habe:
$\begin{eqnarray*} (2\cdot(n_0+1)+1)^2 \end{eqnarray*}$
das formste nun so um, dass du irgendwie deine induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

08.06.2007, 22:15

Saiteninstrument

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An system-agent:
Hmm...meine Denkblockade sieht ungefähr so aus:
Nachdem der Induktionsanfang ja richtig ist, würde ich persönlich beim Induktionsschritt
n²=x*8+1
hinschreiben.
Sagst du jetzt, dass ich stattdessen den Induktionsschritt mit
2n+1=x*8+1
starten sollte und dann mit
(2*(n+1)+1)²=(2n+3)²=4n²+12n+9=...
weitermache? Oder steh ich immernoch auf dem Schlauch?

Mit Grüßen,
Saiteninstrument

08.06.2007, 22:32

system-agent

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du hast ein grundsätzliches problem:
du nimmst an, dass $\begin{eqnarray*} (2n_0+1)^2=x*8+1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\leq n_0 \end{eqnarray*}$ .
nun musst du zeigen, dass unter dieser annahme die aussage auch für $\begin{eqnarray*} n_0+1 \end{eqnarray*}$ richtig ist, was bedeutet, du musst den ausdruck $\begin{eqnarray*} (2(n_0+1)+1)^2 \end{eqnarray*}$ untersuchen (wobei du die annahme irgendwann verwenden musst). die $\begin{eqnarray*} (...)^2 \end{eqnarray*}$ kommt daher, dass du behauptest, die quadrate von bestimmten zahlen liessen sich irgendwie darstellen. nun $\begin{eqnarray*} 2(n_0+1)+1 \end{eqnarray*}$ ist die nächste ungerade zahl nach $\begin{eqnarray*} 2n_0+1 \end{eqnarray*}$ .

nun verwende auf den ausdruck $\begin{eqnarray*} (2(n_0+1)+1)^2 \end{eqnarray*}$ die binomische formel und halte danach ausschau, wie du geschickt zusammenfassen kannst so dass wieder einmal $\begin{eqnarray*} (2n_0+1) \end{eqnarray*}$ entsteht. nach voraussetzung weisst ja was über $\begin{eqnarray*} (2n_0+1) \end{eqnarray*}$ ...

08.06.2007, 23:22

Saiteninstrument

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An system-agent:
BINGO!!! Super! Ich hab's endlich gerafft - genau die Sache mit der Annahme war das Puzzleteil, das gefehlt hat. Ich danke tausendfach! :-D

Mit Grüßen,
Saiteninstrument

09.06.2007, 01:18

tmo

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du hast es zwar jetzt geschafft, aber nochmal zur information:

der term 8x + 8z + 1 wäre schon die lösung gewesen, denn

$\begin{eqnarray*} 8x + 8z + 1 = 8(x+z) + 1 \end{eqnarray*}$

da x und z ganze zahlen sind, ist auch x+z eine ganze zahl.

der induktionsschritt wäre damit abgeschlossen.

09.06.2007, 06:28

dim

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Mach dir doch deine Kenntnis von x zum Nutzen.

Du weißt, dass

3² =1*8+1
5² =3*8+1
7² =6*8+1
9² =10*8+1
11²=15*8+1
13²=21*8+1

Die Folge 1 3 6 10 15 21 27... lässt sich darstellen als n*(n+1)/2. Wenn Du dies auf der rechten Seite für x einsetzt und auf der linken Seite die Darstellung der quadrierten ungeraden Zahl erhälst Du dann:

(2*n+1)²=8*n*(n+1)/2+1 bzw.

(2*n+1)²=4*n*(n+1)+1

Zu zeigen für n=1 bzw. n+1 dürfte dann nicht mehr das Problem sein.

09.06.2007, 06:41

dim

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Zitat:

Original von dim

Die Folge 1 3 6 10 15 21 27...

Die Folge geht natürlich nicht mit 27 sondern mit 28 weiter.

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